Hmotný bod o hmotnosti je zavěšen na dvou lanech 1, 2 podle obrázku 1.

Dáno:





Určit:

---

Řešení: Provedeme uvolnění bodu a v lanech zavedeme síly (obr. 2).

obr. 2

Pro rovnováhu bodu platí rovnice rovnováhy ve vektorovém tvaru

(1)

Po rozepsání do pravoúhlých složek x, y

(2)

(3)

Dostáváme dvě rovnice (2), (3) pro dvě neznámé a výpočet provedeme např. Cramerovým pravidlem



Grafické zobrazení sil je na obr. 3.

obr. 3

obr. 1

Homogenní válec o hmotnosti je uložen podle obr 1. Určete sílu v laně a reakci od podložky .

Dáno:





Určit:

---

Řešení: Provedeme uvolnění válce a zavedeme reakci v laně a reakci od podložky (obr. 2a).

obr. 2

Protože obě reakce i tíhová síla procházejí jedním bodem - středem válce (obr. 2b), jedná se o rovnováhu bodu. Zapíšeme vektorovou rovnici

(1)

Po rozepsání do pravoúhlých složek x, y

(2)

(3)

Dostáváme dvě rovnice (2), (3) pro dvě neznámé a výpočet provedeme Cramerovým pravidlem

Dvě síly ležící v rovině mají působiště v bodě A viz obr.1.

obr. 1

Dáno:



souřadnice bodu A:
souřadnice bodu B:
souřadnice bodu C:
souřadnice bodu D:

Určit:
a) momenty síly k bodům 0, B, C, D
b) momenty síly k bodům 0, B, C, D

---

Řešení:

obr. 2

a) Nalezneme příslušná ramena síly k bodům 0, B, C, D (obr. 2).


Moment síly k bodu 0:

(1)

Moment síly k bodu B:

(2)

Moment síly k bodu C:

(3)

Moment síly k bodu D:

(4)

b) Nalezneme příslušná ramena síly k bodům 0, B, C, D (obr. 2).

Moment síly k bodu 0:

(5)

Moment síly k bodu B:

(6)

Moment síly k bodu C:

(7)

Moment síly k bodu D:

(8)

Obr.1

Určete momenty sil k bodu A.

Dáno:









Určit:

---

Řešení:

Pro výpočet momentů sil použijeme Varignonovu větu. Rozložíme síly do složek x, y.

Moment síly je dán vektorovým součtem momentů složek síly k témuž bodu. Kladný smysl momentu uvažujte proti smyslu pohybu hodinových ručiček.

---

Zpracoval: Zozulák Petr

Užití vztahu ve 2D.

Síla působí na těleso. Určete moment k bodu 0 a vzdálenost bodu B od nosilky síly .
Obr.2 Dáno:



vzdálenosti viz obr.2

Určit: :

---

Řešení: Sílu a polohový vektor bodu A zapíšeme ve vektorovém tvaru


Pro určení vzdálenosti bodu B od nositelky síly použijeme vektorový součin

kde

Pro rameno síly k bodu B platí

z toho

---

Zpracoval: Zozulák Petr

Na těleso působí síly podle obrázku.

Dáno:











Nalezněte výslednici sil.

---

Výslednicí je moment . Síly působící v bodech A a C tvoří silovou dvojici. Velikost silové dvojice je dána vztahem

Podobně pro silové dvojice tvořené silami

Výsledný moment je:

---

Zpracoval: Zozulák Petr

Dáno:







Nahraďte sílu silou působící v bodě A a momentem.

---

Náčrtek:

---

Zpracoval: Zozulák Petr

obr.1

Dáno:





























U daného tělesa tvořeného soustavou prutů určete reakce v uložení v bodech je-li zatíženo silami a břemenem o hmotnosti


Určit:


Řešení:

1. Uvolnění tělesa

obr.2

2. Rovnice rovnováhy

(1)

(2)

(3)

3. Řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých

Z rovnice (3) určíme reakci

(4)

Z rovnice (2) získáme

(5)

Dosazením do rovnice (1) za dostáváme

takže

(6)

4. Numerické řešení

---

Zpracovala: Lucie Skálová

obr. 1

Dáno:







Určit:

---

Řešení:

1. Uvolnění

obr. 2

2. Rovnice

(1)

(2)

(3)

3. Vyjádření reakcí

Z rovnice určíme reakci

(4)

kde

Po dosazení do vyjde

(5)

a do

(6)

4. Výsledky

---

Zpracoval: Radek Zbončák

obr. 1

Dáno:








Určit:

---

Řešení:

1. Uvolnění

obr. 2

Spojitá zatížení nahradíme silami a ležícími v těžišti (obr. 2).

2. Rovnice rovnováhy

(1)

(2)

(3)

3. Vyjádření reakcí

Z rovnice vypočítáme

(4)

Z rovnice určíme

(5)

Dosazením do vyjde

(6)

4. Výsledky

---

Zpracoval: Radek Zbončák

Vyšetřete vnitřní silové účinky v řezu I - I.

obr. 1

Dáno:






Určit:

a)	reakce v podporách A a B
b)	vnitřní statické účinky.

---

Řešení:

a) Výpočet reakcí

1. Uvolnění

obr. 2

Spojité zatížení nahradíme silou

Jedná se o příčné zatížení nosníku

2. Rovnice rovnováhy

(1)

(2)

3. Výpočet reakcí

(3)

(4)

b) Výpočet posouvající síly a ohybového momentu v řezu , normálová síla

1. Uvolnění

obr. 3

2. Rovnice rovnováhy

Sestavíme rovnice rovnováhy pro oddělenou levou část tělesa.

(5)

(6)

3. Řešení a výsledky

---

Zpracoval: Radek Zbončák

obr. 1

U soustavy těles tvořené dvěma tělesy 2,3 a kladkou uloženou v bodě C určete vnitřní silové účinky



Dáno:



Určit:

a)	Reakce v uložení
b)	vnitřní silové účinky v řezu .

---

Řešení:

a) Výpočet reakcí

Těleso 2

1. Uvolnění

obr. 2

2. Rovnice rovnováhy

(1)

(2)

(3)

Těleso 3

1. Uvolnění

obr. 3

2. Rovnice rovnováhy

(4)

(5)

(6)

3. Řešení

Dostáváme soustavu 6 rovnic o 6 neznámých:

Z rovnice vyjádříme





b) Vnitřní silové účinky

V řezu oddělené pravé části nahradíme zbývající část posouvající silou normálovou silou a ohybovým momentem

obr. 4

(7)

(8)

(9)

Silové účinky v řezu jsou

---

Zpracoval: Radek Zbončák

Rám (obr.1) je zatížen silami .

Dáno:

Určit:

---

Řešení:

obr.2

Protože těleso není zatíženo vnější silou a v kloubech a působí pouze reakce , jedná se o rovnováhu dvou sil a nositelka reakcí prochází body a .
Směr nositelky je dán úhlem .

1. Uvolnění

obr.3

2. Rovnice rovnováhy

(1)

(2)

(3)

Pozn.: x-ová složka prochází bodem rameno je nulové a složka má nulový moment k bodu

3. řešení soustavy rovnic (1), (2), (3)

Z rovnice (3) určíme

(4)

Výraz (4) dosadíme do rovnice (1) a (2) a dopočítáme a

(5)

(6)

---

Zpracovala: Lucie Skálová

obr. 1

Dáno:






Určit: P tak, aby se těleso pohybovalo rovnoměrným pohybem. Zanedbáme rozměry tělesa.

---

Řešení:

1. Uvolnění

obr. 2

2. Rovnice rovnováhy

Sestavíme rovnice rovnováhy pro bod

(1)

(2)

Připojíme vztah pro třecí sílu

(3)

3. Výpočet

Vztah pro T dosadíme do

(4)

Vyjádříme N z

(5)

a dosadíme do

(6)

Po úpravě výrazu

vyjde

---

Zpracoval: Radek Zbončák

Těleso o tíze G se pohybuje ve směru působení síly F stálou rychlostí.

obr. 1

Dáno:



Určit: Určete velikost síly F a výšku h, kde síla F působí, aby nedošlo k překlopení.

---

Řešení:

1. Uvolnění

obr. 2

2. Rovnice rovnováhy

Sestavíme rovnice rovnováhy a připojíme vztahy pro třecí síly

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

3. Výpočet

Z prvních dvou rovnic určíme sílu F za předpokladu, že v bodech A i B je koeficient smykového tření stejný.

(6)

(7)

Výšku , kdy ještě nedojde k překlopení, určíme z momentové rovnice

(8)

Pro okamžik překlopení je
Pak

---

Zpracoval: Radek Zbončák

obr. 1

Dáno:



Určit:

(integrací)

---

Řešení:

obr. 2

V trojúhelníku zvolíme elementární plochu dS (obr. 2).


kde souřadnici vypočteme z podobnosti



Výpočet souřadnice těžiště je dán vztahem


Po dosazení za dS a úpravě


Výpočet souřadnice těžiště provedeme analogicky


Po dosazení za dS a úpravě

---

Zpracoval: Radek Zbončák

obr. 1

Dáno:



Určit:

---

Řešení:

Vztahy pro výpočet souřadnic těžiště jsou



Po dosazení pro náš příklad dostaneme

---

Autor: Iva Petríková, Zpracoval: Radek Zbončák

obr. 1

Dáno:



Určit:

---

Řešení:

Útvar rozdělíme na tři dílčí útvary, jejichž těžiště známe.
Útvar č. 1 je tvořen obvodem čtverce v rovině xy a těžiště T₁ má souřadnice
Útvar č. 2 je tvoří jedna čtvrtina kružnice a T₂ má souřadnice
Útvar č. 3 je dán úsečkou a T₃ má souřadnice

Obecné vzorce jsou




V našem případě




Výsledky:

---

Autor: Iva Petríková, Zpracoval: Radek Zbončák

Určete těžiště válce s připojeným kuželem a chybějící polokoulí podle obrázku.

Dáno:







Určit:

a)	určete homogenního útvaru,
b)	určete tělesa, uvažujeme-li s ocelovým válcem a hlinikovým kuželem.

---

Řešení:

a) Osa z je osa rotační osová symetrie


b)

---

Autor: Iva Petríková, Zpracoval: Radek Zbončák

Vypočítejte souřadnice těžiště plochy tvořené třemi půlkruhy podle obrázku.

Dáno:

obr.1

Určit:

Řešení:
Podle II.věty Guldinovy-Pappovy platí pro půlkruhovou desku :

obr.2

(1)

Plochu rozdělíme na tři části, souřadnice jejich těžišť:

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Výsledek:

---

Autor: Iva Petríková, Zpracovala: Lucie Skalova

Určete souřadnice těžiště , .

Dáno:

---

Řešení:

Plocha, u které máme určit těžiště, má osu souměrnosti rovnoběžnou s osou y ve vzdálenosti 2a. Z toho vyplývá, že

Zbývá určit souřadnici těžiště. Plochu rozdělíme na několik dílčích ploch, jejichž těžiště známe.

Souřadnice těžiště je dána vztahem

(1)

kde jsou jednotlivé plochy , , , vyznačené na obrázku. je statický moment plochy k ose x.
Celková plocha

Statický moment je

Statický moment útvaru, který v ploše chybí, odečítáme.
Po úpravě dostáváme

Dosazením do vztahu (1) dostáváme souřadnici těžiště

---

Autor: Iva Petríková, Zpracoval: Radek Zbončák

Určete souřadnice těžiště , .

Dáno:

---

Autor: Iva Petríková, Zpracoval: Radek Zbončák

Určete souřadnice těžiště , .

Dáno:

---

Autor: Iva Petríková, Zpracoval: Radek Zbončák

Určete souřadnice těžiště , štíhlé tyče zobrazené na následujícím obrázku.

Dáno:

---

Autor: Iva Petríková, Zpracoval: Radek Zbončák

Určete souřadnice těžiště , štíhlé tyče zobrazené na následujícím obrázku.

Dáno:

---

Autor: Iva Petríková, Zpracoval: Radek Zbončák

Určete souřadnice těžiště , , štíhlé tyče zobrazené na následujícím obrázku.

Dáno:

---

Autor: Iva Petríková, Zpracoval: Radek Zbončák

Určete souřadnice těžiště , .

Dáno:

---

Autor: Iva Petríková, Zpracoval: Radek Zbončák

Těleso je tvořeno válcem s kuželovou dírou vyrobeným z mědi a hliníkovou polokoulí. Najděte souřadnice jeho těžiště.

Dáno:

---

Autor: Iva Petríková, Zpracoval: Radek Zbončák