Tříčlenná soustava je tvořena nepohyblivým rámem č.1 se souřadnicovým systémem , ozebným hřebenem č.2 se souřadnicovým systémem a ozubeným segmentem č.3 se souřadnicovým systémem ve tvaru válce. Těleso 3 je na základním rámu uloženo rotačně, těleso 2 je počátkem 2 souřadnicového systému vedeno po přímce a vazba mezi tělesy 2 a 3 je valivá v dotykovém bodě . V obrázcích je zakreslena výchozí poloha a běžná poloha . Těleso 2 je zatíženo danou silou a vlastní tíhou, těleso 3 jen vlastní tíhou.

Dáno:

• rozměry , , , , ;
• hmotnostní charakteristiky , , , ;
• síla kde , jsou konstanty.

Určete pohyb dané soustavy redukcí na fiktivní hmotný bod v místě 2 tělesa 2.

Řešení:

Použijeme redukovanou pohybovou rovnici

(1)

kde polohovou souřadnicí soustavy bude

Redukovanou hmotnost vypočteme z rovnosti kinetické energie redukované a skutečné soustavy

(2)

Zde

a , se musí určit kinematickým řešením soustavy. Transformační rovnice pro těleso 2 a bod 3 je

(3)

Dosazení za vektory a transformační matici dává

takže

(4)

(5)

Eliminací vypočteme

(6)

a z rovnice (5)

(7)

Podmínku valení mezi tělesy 2 a 3 uplatníme jako rovnost odvalených oblouků

tedy

(8)

Ze (7) je

přičemž ze (6) je

Dosazením do (8) nakonec máme

(9)

Protože podle (6) je , je (9) zápisem zdvihové funkce .

Úhlovou rychlost určíme implicitní derivací vztahu (6) upraveného na tvar

tzn.

takže

(10)

Rychlost těžiště tělesa 2 určíme derivováním transformační rovnice

tzn.

Dosazením za vektory a transformační matici dostaneme

tedy

(11)

(12)

Z toho

(13)

Zbývá vypočítat . Z (9) dostaneme

takže s přihlédnutím k (10) je

(14)

Dosazením do (2) můžeme nyní určit redukovanou hmotnost

(15)

Redukovanou sílu určíme z rovnosti okamžitých výkonů působících sil

Vzhledem ke směrům působících sil , a je dále

(16)

Zde chybí výpočet . Transformační rovnice pro těleso 3 a bod je

takže

Dosazením máme

takže

(17)

Dosazením do (16) dostaneme

Pro dosazení do (1) zbývá určit

Derivaci určete z (15) sami. Nepřehlédněte, že , takže

Výsledná diferenciání rovnice je analyticky neřešitelná. Musí se použít numerické řešení.