E-learning

Dáno :

V homogenním tíhovém poli visí lano s proměnným průřezem , zatížené závažím o hmotnosti .

Určit :

Určete funkci , která vyjadřuje velikost průřezu lana tak, aby napětí v každém místě lana bylo rovno zadané hodnotě . Určete prodloužení lana.

Řešení :

Obr. 2

Zavedeme souřadný systém například s osou o počátku na dolním konci lana a mířící nahoru.

Dvěma myšlenými řezy na souřadnicích a vymezíme infinetisimálně malý element lana.

Na horní i dolní plochu elementu působí předepsané napětí . Element má mimoto ještě vlastní tíhu , kde je jeho objem.

Rovnice rovnováhy pak má tvar

Podívejme se na objem . Můžeme ho rozdělit na válec o objemu a na část , která tento válec obklopuje. i jsou nekonečně malé veličiny. Objem druhé části bude tak nekonečně malou veličinou 2. řádu a můžeme ho zanedbat.

Rovnice rovnováhy potom vypadá takto :

Po roznásobení dostaneme

čili

Integrujme obě strany rovnice

čili

kde je integrační konstanta.

Hodnotu stanovíme z okrajové podmínky. Víme totiž , že i na dolním konci lana musí být napětí rovno a vnitřní síla v tomto místě je rovna pouze tíze závaží :

čili

Výsledek:

Hledaná funkce je tedy

Napětí je v celé délce lana konstantní - .

Poměrná deformace je

a prodloužení lana je

Obr. 1

Dáno :

Určete :
dovolené otáčky

pomocí

Řešení :

Zavedeme souřadnici od konce ramene. Nejprve stanovíme velikost vnitřní síly v závislosti na . Vnitřní síla na souřadnici , je dána velikostí odstředivé síly, působící na vnější část ramene o délce :

(1)

Odstředivá síla je rovna součinu hmotnosti , poloměru na kterém rotuje těžiště ramene a druhé mocniny úhlové rychlosti

(2)

Pro hmotnost platí

(3)

těžiště je uprostřed, tedy

(4)

Po dosazení (2) (3) a (4) do (1) dostaneme vnitřní sílu

neboli po úpravě

(5)

Napětí získáme jako podíl vnitřní síly a průřezu

(6)

a poměrnou deformaci pomocí Hookeova zákona

(7)

Všechny odvozené vztahy platí po celé délce ramene, tedy pro .

jednoduchým rozborem zjistíme, že napětí nabývá na uvedeném intervalu maxima pro .
Musí proto platit

(8)

čili

(9)

Po úpravě tak dostáváme

(10)

neboli

(11)

Dovolené otáčky jsou

(12)

Po dosazení

(13)

(14)

Prodloužení ramene je rovno

(15)

čili

(16)

Po integraci máme

(17)

Podle zadání musí platit

(18)

tedy

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

Obr. 1

Dáno : .

Určete : průběh napětí ve sloupu a změnu jeho délky.

Sloup v tíhovém poli je znázorněn na obr. 1.

Řešení :

Zavedeme reakci v uložení (viz. obr. 1) a napíšeme rovnici rovnováhy

kde a jsou tíhy horní a dolní části sloupu

Stanovíme vnitřní sílu v horní části .

je tíha části sloupu nad řezem

Vnitřní síla má tedy tvar

Vnitřní síla ve spodní části sloupu je dána silou , tíhou celé horní části sloupu a tíhou fragmentu dolní části , který se nachází nad myšleným řezem.

po dosazení

Napětí v horní a dolní části a má tvar

Poměrné deformace a dostaneme z Hookeova zákona

Změnu délky získáme integrací poměrné deformace

Po dosazení, integraci a úpravě dostaneme

První člen představuje změnu délky sloupu způsobenou pouze silou . Druhý člen je změna délky horní části sloupu od její vlastní tíhy, třetí část je změna délky dolní části sloupu od její vlastní tíhy. Čtvrtý člen představuje změnu délky spodní části sloupu způsobenou tíhou horní části sloupu.

Průběh vnitřní síly a napětí je znázorněn na obr. 2.

Obr. 1

Dáno :

Určete : reakce a průběh napětí v tyči.

Tyč o délce je upevněna podle obr. 1.

Řešení :

Obr. 2

Zavedeme reakce a souřadnici - viz. obr. 2. Jedná se o soustavu sil ležících v přímce, napíšeme proto jedinou rovnici rovnováhy.

(1)

kde tíha je tíha tyče

(2)

Úloha je jednou staticky neurčitá, musíme proto formulovat deformační rovnici. Vzhledem k uložení horního i dolního konce tyče platí

(3)

Hodnotu získáme integrací poměrné deformace

(4)

Po dosazení z Hookeova zákona máme

(5)

a tedy

(6)

Vnitřní sílu stanovíme metodou řezu. Provedeme-li myšlený řez na souřadnici , (viz. obrázek 2) pak je vnitřní síla dána reakcí , která působí tahem a bude tedy mít kladné znaménko a tíhou části nad řezem, která působí tlakem a bude tedy mít znaménko mínus.

(7)

Pro můžeme napsat

(8)

tedy

(9)

Z poslední rovnice dosadíme do vztahů (6) a (3) a po integraci dostaneme

(10)

Vyjádříme

(11)

Z rovnice rovnováhy (1) dostaneme

(12)

Určíme napětí z vnitřní síly (9), do níž dosadíme z (11).

(13)

Obr. 3

Na obr. 3 je znázorněna tyč a vedle graf průběhu napětí. Napětí se mění lineárně, v horní části tyče je tahové, v dolní je tlakové. Nulová hodnota napětí je uprostřed tyče.

Obr. 1

Dáno :

Určete : průběh napětí, reakce a poměrné deformace v tyči. Anylyzujte vliv velikosti a znaménka na výsledek.

Tyč o délce je upevněna podle obrázku 1 a poté se její teplota změní o .

Řešení :

Obr. 2

Zavedeme reakce a souřadnici - viz obr. 2. Pro soustavu sil ležících v přímce napíšeme jedinou rovnici rovnováhy

(1)

představuje tíhu celé tyče

(2)

Úloha je jednou staticky neurčitá, musíme proto formulovat deformační rovnici. Vzhledem k uložení obou konců tyče musí platit

(3)

Hodnotu získáme integrací poměrné deformace

(4)

Tyč se deformuje nejen působením vnějších sil, ale také v důsledku změny teploty . Poměrná deformace se skládá z komponenty způsobené silami a z komponenty způsobené změnou teploty :

(5)

Pro platí

(6)

kde je průřez : .

Pro platí

(7)

Vztah (4) vypadá po dosazení takto :

(8)

Vnitřní sílu stanovíme metodou řezu. Provedeme-li myšlený řez na souřadnici (viz. obr. 2), působí tahem reakce a tlakem tíha části nad řezem.

(9)

Z poslední rovnice dosadíme do (8) a (3) a po integraci dostáváme

(10)

Vyjádříme reakci

(11)

Z rovnice rovnováhy (1) stanovíme :

(12)

Z (11) dosadíme do (9) a pro napětí pak platí

(13)

Analyzujme nyní velikost reakcí v závislosti na .

Pokud je , pak a .

Obr. 3

Lineární závislost reakcí na znázorňuje obr. 3.

Je-li uvnitř intervalu , pak obě reakce míří nahoru. Pro se mění znaménko u , která pak míří dolů.

Naopak pro se obrací znaménko a tedy i směr reakce .

Stanovme nyní hodnoty a .

Pro , platí že :

(14)

čili

(15)

Pro platí, že :

(16)

a tedy

(17)

Obr. 4

Podívejme se nyní na průběh napětí (vztah (13)). Pro dostaneme závislost označenou v obr.4 číslem .

S rostoucím se průběh posouvá směrem doleva až při dosáhne nulové hodnoty na horním konci tyče - průběh .

S klesajícím se průběh posouvá doprava a pro dosáhne nuly na dolním konci tyče - průběh .

S dalším růstem, resp. poklesem teploty se průběhy posunují dál doleva resp. doprava.

Je-li , pak je napětí v celé tyči záporné, tedy tlakové.

Je-li , je napětí v celé tyči kladné - tahové.

Je-li , je napětí v části tyče tahové a v části tlakové.

Dáno :

Určete : Síly v prutech

Řešení:

Trám uvolníme, zakreslíme všechny síly, které na něj půsubí a zapíšeme rovnice rovnováhy.

Obr.1:Trám po uvolnění

(1)

(2)

(3)

Úloha je jednou staticky neurčitá

Zakreslíme trám v obecné poloze po deformaci a vyjádříme změny délek jednotlivých prutů. Trám je obecné těleso v rovině a jako takové má tři stupně volnosti. Jeho obecná poloha proto bude určena třemi parametry - vodorovným posuvem , svislým posuvem a pootočením . Každý z těchto vlivů způsobí nějaké změny délek jednotlivých prutů. Skutečná změna délky každého prutu je pak dána jako změny délky od , od a od . Pro prut číslo tedy můžeme psát:

A. Změny délek od posuvu

Obr.2:Změna délky prutu č.2,způsobená vodorovným posuvem

Zvolíme si posuv například vpravo. Na obr. 2 je znázorněn trojúhelník, vyjadřující změnu délky prutu č.2, způsobenou posuvem . Je zřejmé, že změna délky bude záporná, délka odvěsny trojúhelníka proto bude .

Platí:

a tedy

(4)

Obdobně určíme

(5)

Vodorovný posuv se projeví i na prutech 3 a 4

(6)

(7)

B. Změny délek od posuvu

Obr.3:Změna délky prutu č.1,způsobená svislým posuvem

Na obrázku 3 je znázorněn způsob určení změny délky prutu č.1 , způsobené svislým posuvem . Dostáváme vztah

(8)

Podobně určíme i další změny délek

(9)

(10)

(11)

C. Změny délek způsobené pootočením kolem bodu A

Obr.4:Smysl pootočení kolem bodu A

Zvolme si kladný smysl pootočení například podle obrázku 4. Bod A zůstává bez pohybu, proto

(12)

(13)

Bod C se posune svisle o hodnotu . Platí proto

(14)

(15)

Na základě rovnic (8) až (15) můžeme souhrně napsat

(16)

(17)

(18)

(19)

Pro pruty musejí samozřejmě platit i fyzikální rovnice ve tvaru

(20)

(21)

(22)

(23)

Vztahy (1) až (3) a (16) až (23) tvoří soustavu jedenácti rovnic pro jedenáct neznámých. Neznámými veličinami jsou: .

Zpracoval: František Novotný

Dáno:

Určete: průběh napětí na tyči a změnu její délky

Řešení:

obr. 1

Zavedeme reakci v uložení (viz obr.1) a napíšeme rovnici rovnováhy

(1)

kde jsou tíhy horní, střední a dolní části tyče

(2)

(3)

(4)

Velikost reakce R bude tedy:

(5)

Po dosazení

(6)

Metodou řezu zdola stanovíme vnitřní sílu ve spodní části tyče

(7)

Vnitřní síla

ve střední části tyče je dána tíhou celé spodní části tyče a tíhou fragmentu střední části, která se nachází pod myšleným řezem.

(8)

Vnitřní síla v horní části tyče je dána tíhou spodní a střední části tyče a tíhou fragmentu horní části, která se nachází pod myšleným řezem.

(9)

Napětí ve spodní, střední a horní části má tvar:

(10)

(11)

(12)

Poměrné deformace dostaneme z Hookova zákona

(13)

(14)

(15)

Změnu délky získáme integrací poměrné deformace

(16)

po dosazení, integraci a úpravě dostaneme:

(17)

Obr.2: průběh vnitřní síly a napětí

Zpracoval: Ondra a Jiřa

Obr. 1

Dáno:

Hřídel je uložen a zatížen podle obr 1.

Určit: reakce,

Řešení:

Obr.1

Zavedeme reakce např. tak, jako na obr.2 a zapíšeme rovnici rovnováhy:

neboli

Úloha je jednou staticky neurčitá. Vzhledem k uložení obou konců můžeme napsat deformační podmínku:

Metodou řezu nyní stanovíme velikost vnitřního krouticího momentu v úsecích I - IV , jak jsou vyznačeny na obr.2:

Polární kvadratické momenty v jednotlivých úsecích hřídele mají hodnoty:

Vzájemné natočení má tvar:

čili:

Po dosazení a integraci dostáváme:

a po úpravě:

Dosazením posledního vztahu do deformační rovnice a úpravou dostáváme:

Z rovnice rovnováhy pak:

Pro stanovení napětí nejprve určíme velikost průřezových modulů v krutu pro jednotlivé části hřídele.

Smyková napětí pak mají hodnoty:

Pro napětí tedy platí následující relace:

Největší smykové napětí nabývá hodnoty:

Obr. 1

Dáno:

Válcový hřídel je zatížený spojitým krouticím momentem podle obr. 1.

Určit:

Určete maximální napětí.

Řešení:

Obr. 2

Nejprve zavedeme reakce v uložení např. jako na obr. 2 a zapíšeme rovnici rovnováhy:

(1)

Úloha je jednou staticky neurčitá. Vzhledem k uložení obou konců má deformační podmínka tvar:

(2)

Metodou řezu stanovíme velikost krouticího momentu na souřadnici x:

(3)

Pro pootočení platí:

(4)

což po dosazení a integraci dává:

(5)

Dosazením posledního vztahu do deformační podmínky (2) dostaneme:

(6)

Z rovnice rovnováhy pak:

(7)

Vztah (3) po dosazení z (6) nabývá tvaru:

který nám dovolí zakreslit průběh velikosti krouticího momentu - viz obr. 3.

Obr. 3

Krouticí moment nabývá maximální velikosti na obou koncích. Maximální smykové napětí je tedy rovno:

Zpracoval: Pavel Čapek

Dáno:

Je dán kruhový a mezikruhový průřez.

Určit:

Stanovte polární kvadratický moment a průřezový modul v krutu pro kruhový a mezikruhový průřez.

Řešení pro kruhový průřez:

Nejprve řešme kruhový průřez. Zavedeme souřadnici podle obr 1.

Obr. 1

Pro polární kvadratický moment platí:

kde

Po dosazení máme:

Integrujeme a dostaneme:

Pro průřezový modul platí:

takže:

Řešení pro mezikruhový průřez:

Obr. 2

Pro mezikruhový průřez ( viz obr. 2 ) je dolní mez v integrálu pro výpočet rovna :

Po integraci dostaneme:

neboli:

Pro platí .

čili:

Dosadíme-li do vztahů pro mezikruhový průřez , nabyde hranatá závorka hodnoty 1 a získáme vztahy pro kruhový průřez.

Zpracoval: Pavel Čapek

Dáno:

Hřídel o průměru se otáčí úhlovou rychlostí .

Určit:

Stanovte maximální výkon, který tento hřídel může přenést.

Řešení:

Výkon je dán součinem krouticího momentu a úhlové rychlosti:

čili:

Maximání smykové napětí má velikost:

Současně musí platit:

Po dosazení dostáváme:

Pro výkon tedy platí:

Maximální přenášený výkon má velikost:

Obr. 1

Dáno:

Je dán uložený hřídel.

Určit: reakce,

U hřídele uloženého a namáhaného dle obr.1 stanovte reakce a maximální smykové napětí.

Řešení:

Obr. 2

Zavedeme reakce v uloženích např. tak, jak je znázorněno na obr.2 a zapíšeme rovnici rovnováhy:

Úloha má jeden stupeň volnosti, zapíšeme proto deformační podmínku, která díky uložení obou konců má tvar:

Metodou řezu stanovíme velikost krouticího momentu v hřídeli:

pro

Pro pootočení platí:

čili:

což po dosazení dává:

a tedy po integraci a úpravě:

Podle deformační podmínky však , takže dostáváme:

a tedy:

Z rovnice rovnováhy pak:

Pro maximální smykové napětí platí známý vztah:

Stanovíme napětí v levé části hřídele:

a v pravé části:

Maximum smykového napětí pak bude rovno:

Je jasné, že pro je větší smykové napětí v levé části, pro v části pravé.

Dáno :

Určete : Reakce, průběhy posouvající síly a momentu, tvar průhybové čáry.

Řešení:

Obr 1: Reakce a výslednice spojitého zatížení

Nosník uvolníme a zakreslíme reakce (viz obr. 1) a zapíšeme rovnice rovnováhy. Pro rovnice rovnováhy můžeme spojité zatížení nahradit výslednicí . Její velikost je dána velikostí plochy, charakterizující spojité zatížení a její působiště je v těžišti této plochy.

Rovnice rovnováhy mají tvar

(1)

(2)

kde

Reakce mají tedy velikost

(3)

(4)

Posouvající sílu můžeme stanovit například pomocí metody řezu. Zvolme metodu řezu zleva, pro řez v obecném místě pak platí

čili

(5)

Metodou řezu určíme i ohybový moment

(6)

Reakce ohýbá nosník v místě v kladném smyslu (tj. natahuje spodní vlákno nosníku), proto má ve vztahu (6) její moment znaménko plus.

Obr 2: Stanovení momentu od spojitého zatížení

Na obrázku (2) je znázorněno stanovení ohybového momentu od spojitého zatížení. Vlevo od řezu působí spojité zatížení na úsek o délce . Výslednici označme a její velikost je . Působiště výslednice je v těžišti obrazce, tj. ve vzdálenosti od místa . Výsledný moment má tedy velikost a záporné znaménko, protože zkracuje spodní vlákno nosníku.