Dáno:

Je dán bod o hmotnosti na drsné rovině skloněné pod úhlem . Rychlost a poloha bodu na počátku děje jsou nulové. Bod je uveden do pohybu vlivem vlastní tíže. Koeficient tření mezi bodem a rovinou je .

Určit:

Určete zrychlení, rychlost a polohu bodu v závislosti na čase, rychlost bodu v závislosti na dráze a rychlost bodu po překonání vzdálenosti .

---

Rešení:

Obr.2 Uvolnění hmotného bodu

Na obrázku je zachyceno uvolnění bodu v obecné poloze. K sestavení pohybové rovnice užijeme Newtonova způsobu.
Ve vektorovém vyjádření platí :




Složkové rovnice psané ve směru osy a jsou :

(1)

,

(2)

kde je
třecí síla,
tíhová síla.

Z rovnice (2) vyjádříme normálovou sílu a dosadíme do (1).




Rovnici (1) vydělíme hmotností a přepíšeme do tvaru :

,

(3)

Dostali jsme hlavní pohybovou rovnici (3) . Je to lineární diferenciální rovnice 2.řádu s nenulovou pravou stranou. Zrychlení bodu je závislé na parametrech a . To jsou ale z hlediska zadání konstanty. Tedy i výsledné zrychlení je konstantní a označíme jej .

Rychlost bodu v závislosti na čase ; :

Vzhledem k jednoduchosti rovnice (3) lze k řešení použít separaci proměnných a poté integrovat. Jako spodní meze intervalu nám poslouží příslušné počáteční podmínky. V tomto případě . Do horních mezí použijeme obecné hodnoty rychlosti a času .





Po integraci :

(4)

Rychlost na čase závisí lineárně.

Poloha v závislosti na čase ; :

Užijeme obdobného postupu jako při řešení rychlosti. Počáteční podmínka v dolních mezích integrálů je .






Po integraci :

(5)

Poloha je tedy z hlediska času funkce kvadratická.

Rychlost bodu v závislosti na poloze ; :

K výpočtu lze například využít vztahu :



Počáteční podmínka užitá ve spodních mezích integrálů je .

(6)

Hodnota rychlosti v okamžiku dosažení dráhy je

(7)

Stejného výsledku lze při určování závislosti dosáhnout tak , že z rovnice (5) vyjádříme čas v závislosti na dráze :



a dosadíme do (4) :

(8)

Grafické průběhy vypočtených závislostí jsou na obr. 3 až obr. 6.

Zrychlení bodu

Obr.3 Zrychlení bodu a = a(t)

Rychlost bodu

Obr.4

Poloha bodu

Obr.5 Poloha bodu x = x(t)

Rychlost bodu

Obr.6 Rychlost bodu v = v(x)

Obr. 1

Dáno: , , , , ,

Je dán bod o hmotnosti m na drsné rovině skloněné pod úhlem . Rychlost a poloha bodu na počátku děje jsou nulové. Bod je uveden do pohybu vlivem vlastní tíže. Uvažujte odpor prostředí lineárně závislý na rychlosti s koeficientem úměrnosti .

Určit: , ,

Určete průběh zrychlení, rychlosti a polohy bodu v závislosti na času.

---

Řešení:

Obr. 2

Hmotný bod v obecné poloze uvolníme (viz. Obr. 2) a k vyjádření setrvačných účinků použijeme D`Alembertův způsob. Ve vektorovém vyjádření platí:

Složkové rovnice psané ve směru os a jsou:

(1)

(2)

kde je třecí síla:

odporová síla prostředí:

tíhová síla:

D`Alembertova doplňková dynamická síla:

Z rovnice (2) ještě vyjádříme sílu normálovou a dosadíme do (1):

(2)

(2)

Rovnici (1) vydělíme hmotností a přepíšeme do následujícího tvaru:

(3)

Hlavní pohybová rovnice (3) je tedy lineární, 2. řádu, s konstantními koeficienty a nenulovou pravou stranou.

Jejím řešením je závislost

1) Homogení řešení rovnice (3)

Rovnici (3) přepíšeme do homogeního tvaru:

Charakteristický polynom je:

jehož kořeny jsou:

Homogení řešení napíšeme ve tvaru:

2) Partikulární řešení

Pravá strana rovnice (3) je konstanta, tedy polynom nultého skupně. Partikulární řešení odhadneme ve tvaru polynomu 1. stupně. Provedeme potřebné derivace a dosadíme do (3) .

Po dosazení:

Partikulární řešení tedy je:

3) Obecné řešení

Obecné řešení je součtem řešení homogeního a partikulárního:

(4)

4) Nalezení integračních konstant a

Tyto konstanty určíme z počátečních podmínek uvažovaného děje. Ty jsou:

a) poloha v nulovém čase je taktéž nulová

b) rychlost v nulovém čase je nulová: .

Pro uplatnění počáteční podmínky b) potřebujeme rovnici popisují rychlost bodu. Zderivujeme tedy (4) podle času a dostaneme rovnici (5)

(5)

a dosadíme:

a)

b)

---

a)

b)

Z rovnice b) plyne:

a z rovnice a) plyne:

Integrační konstanty dosadíme do (4):

tedy:

Popis rychlosti bodu získáme z rovnice (5):

Zrychlení jako derivace rychlosti je:

obr. 1

Dáno:

-
-	tuhost pružiny
-	stlačení pružiny
-	úhel nakloněné roviny
-	koeficient smykového tření

Určit:

-	Rychlost vystřelení
-	vzdálenost , kdy se bod zastaví.

Předpoklad: Zanedbání hmotnosti pružiny.

---

Řešení:

Rozdělíme na dvě fáze.

První fáze - vystřelování hmotného bodu v intervalu

obr. 2

(1)

(2)

(3)

(4)

Po dosazení z do a z a do dostáváme vlastní pohybovou rovnici.



Označíme-li


pak

zrychlení je funkcí


Pro výpočet rychlosti použijeme vztah


resp.


Rychlost při vystřelení pak


Rychlost bodu při opuštění pružiny je

(5)

Druhá fáze - pohyb hmotného bodu po opuštění pružiny v intervalu

obr. 3

Dostáváme rovnici pro v závislosti na


Rychlost v místě zastavení je Pak


Z toho


kde za dosadíme z rovnice

---

Autor: Iva Petríková, Zpracoval: Radek Zbončák

Obr.1 Počáteční poloha hmotného bodu

Dáno :

Je dán bod o hmotnosti na ploše válcového tvaru,jejíž poloměr křivosti je . Bod se začne pohybovat z daných počátečních podmínek polohy a rychlosti bezodporově.

Určit :

Zjistěte úhel ,při kterém dojde k odpoutání hmotného bodu od válcové plochy. Určete průběh normálné síly od počátku pohybu do okamžiku odpoutání v závislosti na úhlu . Tedy , .

---

Obr.2 Uvolnění hmotného bodu

Řešení :

Uvolníme hmotný bod v obecné poloze a sestavíme pohybové rovnice Newtonovým způsobem v souřadném systému tečna , normála.

(1)

(2)

kde
je tečné zrychlení bodu,
je normálné zrychlení bodu,
je normálová síla,
je tíhová síla.

Po dosazení získáváme :

(1)

(2)

Máme-li v prvním případě řešit odtrh hmotného bodu od plochy , tedy velikost úhlu , je v tomto okamžiku styk mezi bodem a podložkou přerušen , tedy normálová síla je nulová a rovnice (2) přejde v (4). Integrací v mezích daných počátečními podmínkami můžeme z (1) určit průběh úhlové rychlosti.

;

(3)

Vztah (3) dosadíme do (4) , kde je zkrácena hmotnost a úhel nabývá mezní hodnoty .

(4)

(5)

odtud jednoduše vyjádříme

(6)

a tedy úhel odpoutání je

(7)

Při určování průběhu normálné síly použijeme rovnici (2) , do níž dosadíme (3).



Roznásobením závorky a rutinní úpravou dostaneme

(8)

Diskuze počátečních podmínek :


1) Budou-li počáteční podmínky nulové ,

Obr. 3

tzn. a , bude bod spočívat na nejvyšším místě válcové plochy v nestabilním rovnovážném stavu ( obr.3 ). Jakýkoli malý impuls ho uvede do pohybu. Předpokládejme tedy počáteční podmínky , sice nenulové ale blížící se nule. Potom vztahy (7) a (8) přejdou v (9) a (10).

(9)
(10)
Je zřejmé , že za předpokladu nekonečně malých počátečních podmínek úhel odpoutání nezávisí na žádných parametrech , tzn. na hmotnosti bodu , poloměru válcové plochy , dokonce ani na hodnotě tíhového zrychlení. A tak kdybychom byli schopni za uvedené podmínky experiment provést , dopadl by stejně na Zemi jako třeba na Měsíci. Bod by se odpoutal vždy pod stejným úhlem , jehož kosinus je roven .


2) Další zajímavou úvahu můžeme učinit ,

Obr. 4

položíme-li počáteční rychlost bodu a úhel mějme libovolný z intervalu .
Potom tedy i a po dosazení do (6) dostáváme , že kosinus úhlu odpoutání je vždy roven kosinu úhlu počátečního . Opět bez ohledu na parametry .

(11)
Graficky je tento vztah vyjádřen pro poloměr válcové plochy na obr.4 .

3) Nyní položme hmotný bod do libovolné počáteční polohy

. Při nulové počáteční rychlosti se bod na ploše udrží nejdéle. Pokud bude bod se od plochy odpoutá dříve. V mezním případě , bude-li rychlost dostatečně veliká , dojde k odpoutání již v počátečním úhlu , viz (11). Dochází vlastně k šikmému vrhu ( obr.5 ).

(12)

Stanovme si tuto mezní kritickou rychlost . Vztah (12) dosadíme do (6).



a odtud plyne

(13)

za předpokladu , že v tomto případě bude počáteční poloha bodu na vrcholu plochy přechází vlastně situace ve vodorovný vrh z výšky (viz obr. 6). Rychlost musí být větší nebo rovna .

pro

Obr. 4

Obr. 6

Příklad 2.1:   I.úloha dynamiky (kinetostatika) pro volný pohyb hmotného bodu.

Částice plovoucí na povrchu víru má trajektorii, která je ve válcových souřadnicích popsána parametrickými rovnicemi

kde , , a jsou dané konstanty.
Určete:  složky , a síly , která tento pohyb vyvolává, je-li hmotnost částice .

---

Řešení:  
Pohybová rovnice

má ve válcovém souřadnicovém systému složky

(1)

(2)

(3)

Z kinematiky víme, že

V daném případě je




Protože (podle zadání), můžeme také zapsat

Dosazení do (1), (2) a (3) nakonec dává

Radiální síla má záporné znaménko, takže působí směrem do středu víru. Je důsledkem hydrostatických sil v okolní kapalině. Transverzální složka je nulová. Je to ilustrace zákona zachování momentu hybnosti, který budeme probírat později. Axiální síla je tíhová síla částice.

10 kg náboj je vystřelen vodorovně s počáteční rychlostí z výšky . Určete dostřel náboje a dobu dopadu střely na zem. Zanedbejte odpor vzduchu.

Dáno:

Určit:

obr.1

---

Řešení:

1. Uvolnění

Počáteční podmínky:
V čase je a

obr.2

2. Pohybové rovnice

(1)

Ve složkách pro hmotu (střelu) platí

(2)

(3)

Z rovnic vyjádříme

(4)

(5)

Zrychlení a je rovno počáteční rychlosti
Pro určení vyjdeme ze vztahu

(6)

pak

(7)

Ze zrychlení vypočítáme pomocí vztahu

(8)

Po integraci a dosazení počáteční rychlosti dostáváme

(9)

Dosazením do vztahu

(10)

a následnou integrací získáme

(11)

Při dopadu je pak z rovnice (11) vypočítáme

(12)

(13)

Po dosazení do vztahu (7) vyjde dostřel

(14)

---

Autor: Iva Petríková, Zpracovala: Lucie Skalova

obr. 1

Zadání: Kulička o hmotnosti je upevněna na tyči a laně podle obr. 1.

Dáno:

Určete:
1) sílu v tyči v poloze na podle obrázku,
2) sílu po přestřižení lana,
3) sílu, kdy je kulička s tyčí ve svislé poloze.

---

Řešení:

1. Pokud je kulička upevněna na tyči a laně, řešíme statickou úlohu a jedná se o rovnováhu bodu.

Uvolnění:

obr. 2

Rovnice rovnováhy:

(1)

(2)

Řešení a výsledky:
Z rovnice určíme reakci

(3)

2. Síla v okamžiku přestřižení.

Přestřihneme-li lano, v daném okamžiku nastáva pohyb a jedná se o případ dynamiky HB konajícího křivočarý pohyb po části kružnice.

Uvolnění:

obr. 3

Pohybová rovnice:
Newtonův zákon rozepíšeme do skalárních rovnic ve dvou kolmých směrech

(4)

(5)

Z rovnice vyjádříme a určíme rychlost HB

Vyjdeme-li ze vztahu pro tečné zrychlení

(6)

a upravíme-li ho na tvar

(7)

pak je dána výrazem

(8)

V okamžiku přestřižení je a

po dosazení mezí je

(9)

Výraz dosadíme do vztahu pro normálové zrychlení


a poté do rovnice

(10)

Z rovnice vyjádříme reakci


Po úpravě dostáváme vztah pro reakci

(11)

V okamžiku přestřižení je a

3. Ve svislé poloze tyče je


Sílu v tyči v okamžiku přestřižení lze také určit jednoduše z rovnice za podmínky, že v okamžiku přestřižení je Pak rovnice vyjde


z toho


Pro srovnání je pro

1.
2.
3.

---

Autor: Iva Petríková, Zpracoval: Radek Zbončák

Bod o hmotnosti se pohybuje po hladké válcové ploše s počáteční rychlostí Vyšetřete úhel, při kterém dojde k odpoutání bodu od válcové plochy a rychlost opoutání

obr. 1

Dáno:



Určit:

---

Řešení:

1. Uvolnění

obr. 2

2. Sestavení pohybových rovnic



Rozepsáno do složek

(1)

(2)

3. Řešení rovnic:

Z rovnice získáme vztah pro tečné zrychlení


z rovnice pro normálové


Při výpočtu vyjdeme ze vztahu


Po dosazení za dostáváme



resp.


Pro rychlost vyjde po integraci vztah


a po dosazení mezí


V místě odpoutání platí

(3)

V okamžiku odpoutání HB od válcové plochy je

Rovnici přepíšeme a za dosadíme



Rychlost odpoutání


dosadíme do a vypočítáme




Pro

---

Autor: Iva Petríková, Zpracoval: Radek Zbončák

Dva hmotné body jsou spojeny lanem vedeným přes kladku. Hmotnost lana i kladky zanedbáme, lano uvažujeme dokonale nepružné. Koeficient smykového tření mezi hmotou a nakloněnou rovinou je Určete sílu v laně a zrychlení

obr.1

Dáno :

Určit :

1. Uvolnění :

Hmotný bod

obr.2

Hmotný bod :

obr.3

2. Sestavení pohybových rovnic vychází z Newtonova zákona :

(1)

Pro náš případ přímočerého pohybu v rovině rovnice rozepíšeme do složek

(2)

(3)

Po dosazení pro bod platí

(4)

(5)

Připojíme vztah

(6)

pro bod vyjde

(7)

Body jsou spojeny lany a oba se pohybují se stejným zrychlením

(8)

Řešení :

Do rovnice (4) postupně dosadíme za a z rovnic (6) a (5)

(9)

Z rovnic (7) vyjádříme a dosadíme do (9)

(10)

Z rovnice (10) vyjádříme zrychlení

(11)

Dosadíme-li vztah (11) za do rovnice (7), múžeme vyjádřit

(12)

a po úpravě

(13)

Autor: Iva Petríková,

Příklad 7.2 Polopružný ráz. Dáno: Hmotný bod o hmotnosti je s nulovou počáteční rychlostí spuštěn z výšky proti podložce, která je v klidu a má hmotnost . Po odrazu od podložky vystoupí hmotný bod do výšky , kde má opět nulovou rychlost. Určete: Koeficient restituce pro materiálovou dvojici hmotný bod/podložka. Řešení: Ve výšce tíhového pole má hmotný bod potenciální energii a podle zadání nulovou energii kinetickou . Při dopadu na podložku má naopak nulovou energii potenciální a kinetickou

Podle zákona zachování mechanické energie tak platí

takže dopadová rychlost je

S touto rychlostí vstupuje hmotný bod do polopružného rázu s objektem o hmotnosti a s nulovou rychlostí.

Newtonův předpoklad obecně formulovaný pro dva hmotné body s nenulovými rychlostmi před i po rázu jako

(hvězdičkou označeny rychlosti po rázu) pro daný případ dává

(1)

Záporné znaménko určuje změnu smyslu pohybu, takže po rázu bod stoupá. Druhým použitím zákona zachování mechanické energie nyní dostaneme

z toho

Po dosazení z (1)

takže nakonec

Příklad 7.3 Ráz dokonale nepružný

Dva hmotné body s danými hmotnostmi a rychlostmi se dokonale nepružným rázem změní v jeden hmotný bod se součtem hmotností a společnou rychlostí.

Dáno:

• hmotnosti ,
• rychlosti , před rázem

Určit:

• rychlost po rázu
• rozdíl kinetických energií po a před rázem

Řešení: Pro daný případ platí zákon zachování hybnosti

Z toho

(1)

Kinetická energie soustavy před rázem je

(2)

a po rázu

(3)

Dosazením (1) do (3) dostaneme

Změna je pak

takže nakonec

Záporné znaménko indikuje ztrátu kinetické energie. Takto ztracená kinetická energie se přeměnila na deformační energii zúčastněných hmotných bodů.

Obr. 1 Zadání

Dáno :

Je dána ojnice s rozměrem a hmotností . Dvojím odkýváním ojnice kolem os a byly stanoveny doby kmitu a .

Určit :

Určete vzdálenost těžiště od osy a moment setrvačnosti ojnice k ose procházející těžištěm.

---

Obr. 2 Uvolnění

Řešení :

Ojnici můžeme nahradit obecným tělesem , které uvolníme D'alembertovým způsobem. Předpokládejme kyv kolem osy .
Polohu tělesa měříme úhlovou souřadnicí .

Rovnice rovnováhy :

(1)

(2)

(3)

kde
doplňkové D'Alembertovy dynamické účinky jsou , ,
a tíhová síla je .

Pro nalezení veličin a nám postačí rovnice (3). Zbylé dvě by sloužily k výpočtu reakce v místě uložení . Tedy

, ,

a po úpravě do standartního tvaru dostáváme diferenciální rovnici pohybu fyzikálního kyvadla.

(4)

Rovnice (4) je nelineární. Avšak za předpokladu , že ojnici rozkýveme tak , aby souřednice , můžeme napsat , že . Potom dostáváme lineární diferenciální rovnici (5) , kde výraz u značí kvadrát vlastní frekvence kývání ojnice .

(5)

(6)

Poznamenejme , že jmenovatel výrazu v (6) , , je moment setrvačnosti kyvadla k ose procházející bodem .
Dále platí :

(7)

Porovnáním rovnic (6) a (7) vyjádříme moment setrvačnosti .

(8)

Nyní uskutečníme kyvy ojnice kolem os a a zjistíme periody kmitů a .

Obr. 3

Obdobou rovnice (8) pro případ měření a) na obr. 3 je rovnice (9) odpovídající provedení experimentu b) , kde vzdálenost těžiště od osy rotace je .

(9)

Porovnáním pravých stran rovnice (8) a (9) , kde jedinou neznámou je poloha těžiště , dostáváme :

Obr. 4

Na závěr ještě uveďme alternativní způsob uvolnění tělesa , kdy tečnou a normálovou složku D'Alembertovy dynamické doplňkové síly a umístíme do místa rotace .
Všechny rovnice odvozené pro původní případ zůstávají v platnosti. Pouze za D'Alembertův dynamický doplňkový moment dosadíme .

Dáno: ; počáteční podmínky:

Hmotná homogenní obdélníková deska s kruhovým otvorem se kývá kolem vodorovné osy .

Obr. 1. Zadání

Určit:

Vyšetřete pohyb tělesa a určete dobu kmitu .

---

Řešení:

Těleso vychýlíme z rovnovážné polohy, ve směru rostoucí výchylky zvolíme kladný smysl úhlového zrychlení.

Obr. 2. Rozbor

Pohybová rovnice rotačního pohybu tělesa je

,

(1)

kde je vzdálenost těžiště od osy rotace .
Pro řešení je třeba určit polohu těžiště a hmotový moment setrvačnosti tělesa .

.

Moment setrvačnosti obdélníka k těžišti S₁ je

.

Moment setrvačnosti kruhu k těžišti S₂ je

.

Moment setrvačnosti útvarů k ose rotace vypočteme užitím Steinerovy věty

,

.

Hmotový moment setrvačnosti celého tělesa k ose rotace je

,

kde

,

,

,

,

,

.

Rovnice (1) je vlastní pohybová rovnice. Jde o nelineární diferenciální rovnici 2. řádu. Zjednodušeně ji lze řešit za předpokladu malých výchylek kolem rovnovážné polohy, kdy platí .

.

(2)

Rovnice (2) je lineární diferenciální rovnice 2. řádu a popisuje harmonické kmitání. Řešení předpokládáme
ve tvaru

,

(3)

kde

.

Konstanty A a B určíme z počátečních podmínek:

.

(4)

Dosazením počátečních podmínek v čase do rovnic (3), (4) dostáváme

,

.

Výsledky:



Doba kmitu:



Pro případ výchylek větších než 5° rovnici (1) řešíme numericky.

---

Autor: Iva Petríková, Zpracoval: Oldřich Hybner

Dáno: , , , , , ,

Rotující těleso má v naznačené poloze zadaný pohyb (obr.1). Je dána hustota rotujícího útvaru , zakótované rozměry , , , a úhlová rychlost a zrychlení rotačního pohybu a .

Určit: , ,

Určeme reakce v ložiskách způsobené setrvačnými účinky a potřebnou hnací dvojici. Pasivní odpory zanedbejme.

Obr. 1

---

Řešení:

Uvolnění:

Obr. 2

Jde o prostorový případ tělesa rotujícího kolem stálé osy. Setrvačné účinky nahradíme redukčním párem , v počátku zvoleného souřadného systému , , . Dále zavedeme složky reakcí; v levém ložisku, které přenáší také osovou sílu, to budou: , , , v pravém , . Platí:

Odstředivou a tečnou složku D´Alembertovy síly vyjádříme jako:

Poloha těžiště (hmotného střediska) čtvrtkruhu a hmotnost čtvrtválce jsou:

Složky dynamického momentu jsou vyjádřeny:

Tím, že jsme k vyjádření dynamických účinků použili D´Alembertova principu, můžeme pro rotor psát soustavu šesti rovnic rovnováhy (sílu zanedbáme). První tři rovnice jsou složkové a další momentové.

Osový moment setrvačnosti a deviační momenty vypočteme:

Jestliže je tloušťka tělesa malá vůči poloměru , lze vliv tloušťky na velikost momentu setrvačnosti zanedbat.

Velikosti reakcí jsou:

Tím jsme získali soustavu sedmnácti rovnic pro stejný počet neznámých: , , , , , , , , , , , , , , , , . Vyřešením této soustavy rovnic dostáváme obecný výsledek (bez ohledu na tvar rotujícího tělesa):

Hledané reakce v ložiskách a hnací moment vycházejí následovně:

---

Výsledky pro konkrétní zadané hodnoty:

, , , , , , , , , ,

Obr. 1

Dáno: , těleso

Je dáno obecné těleso rotující kolem osy o úhlovou rychlostí .

Určit:

Určete kinetickou energii tělesa .

---

Řešení:

Obr. 2

Vektor úhlové rychlosti je dán:

,

a poloha elementu hmotnosti tělesa je:

.

Potom kinetická energie tělesa je:

,

kde resp. jsou příslušné osové resp. deviační momenty k daným osám.

Alternativně lze postupovat takto:

.

Hmotný kruhový segment se otáčí kolem svislé osy, k níž je připevněn kloubem a lanem podle obr. Určete osovou sílu v laně, známe-li hmotu a míru . Otáčky jsou konstantní, hmotu lana a osy zanedbejte.



Dáno:





Určit:

---

Řešení:

---

Momentová rovnice rovnováhy k bodu A:

---

Výpočet integrálů:

;

---

Autor: Iva Petríková, Zpracoval: Zozulák Petr

Dáno:

Válcová cívka se odvíjí z lana na nakloněné rovině. Počáteční rychlost je .

Obr. 1. Zadání

Určit:

Určete jakou rychlost bude mít střed válce S potom, co urazí dráhu . Dále určete zrychlení tohoto středu.

---

Řešení:

Uvolnění válce: Na válec působí akční i reakční síly: - síla v laně

- síla v bodě S

- normálová reakce

- třecí síla

Obr. 2. Uvolnění tělesa

Jedná se o obecný rovinný pohyb - rotace válce kolem středu S a jeho posuv.

Zavádíme kinematické veličiny: úhlové zrychlení a zrychlení středu válce .

Vyjdeme z pohybových rovnic

,

(1)

.

(2)

Rozepíšeme rovnice (1), (2) do složek

,

(3)

,

(4)

.

(5)

Rovnice (3), (4), (5) doplníme vztahem pro smykové tření

(6)

a kinematickou vazbou

.

(7)

Postupným dosazováním rovnic (3) až (7) dostaneme vlastní pohybovou rovnici tělesa

,

,

,

.

Výsledné zrychlení je konstantní.

Rychlost středu válce S na konci dráhy je dána rovnicí

,

.

Číselné výsledky:

Zrychlení:









Rychlost:

---

Autor: Iva Petríková, Zpracoval: Oldřich Hybner

Obr.1 Počáteční poloha válce

Dáno :

Hmotný homogenní rotační válec o poloměru a hmotě se valí po vodorovné rovině. Po proběhnutí dráhy se zastaví. Počáteční rychlost středu je .

Určit :

Určete rameno valivého odporu .

---

Obr.2 Uvolnění

Řešení :

Představme si válec ve vzdálenosti od výchozí polohy. Jeho pohyb rozložme na posuv bodu S (referenční bod) a druhotnou rotaci kolem tohoto bodu.
Pohybové rovnice jsou :




rovnice rovnováhy ve svislém směru :



při valení platí kinematická závislost :



za předpolkladu splněné statické podmínky valení



Řešením prvních čtyř rovnic dostáváme :



pro válec pak ( )



Použitím vztahu dostaneme výsledek .

Ke splnění statické podmínky valení musí koeficient smykového tření mezi válcem a podložkou být .

Dodejme pro zajímavost možnost určení ramene valivého odporu užitím věty o změně kinetické energie :



kde v integrálu na pravé straně je pouze práce momentu síly . Protože tečná reakce prochází pólem pohybu , tedy bodem s nulovou rychlostí a proto tato síla nekoná práci.
Dosazením za a , vyjde pro již výše vypočtený výraz.

Dáno: Je dáno těleso o rozměrech , a hmotnosti konající obecný rovinný pohyb v naznačené poloze. Rychlost referenčního bodu A je dána vektorem .

Určit: Určete kinetickou energii tělesa konajícího obecný rovinný pohyb.

Řešení: K řešení použijeme myšlenku základního rozkladu ORP tělesa na unášivý pohyb posuvný a relativní pohyb rotační. Rychlost unášivého pohybu je dána rychlostí referenčního bodu A. Relativní pohyb je rotační se středem rotace v bodě A a úhlovou rychlostí .

Kinetická energie tělesa je dána integrálem kinetických energií elementárních částí tělesa . Poloha elementu je vzhledem k bodu A určena polohovým vektorem .

kde je -ová souřadnice těžiště tělesa a moment setrvačnosti tělesa vzhledem k bodu A.

Souřadnice a rychlost bodu A:

potom

a odtud

Úlohu také můžeme vyřešit Königovou větou

kde je rychlost těžiště S a moment setrvačnosti vzhledem k těžišti. Všimněte si rozdílu ve výsledném vztahu výše, kdy referenční bod není totožný s těžištěm.

Obr.1 Počáteční poloha paralelogramu

Dáno : , , , ,

Je dán paralelogram rotující s konstantní úhlovou rychlostí . Na tělese paralelogramu je umístěn hmotný bod o hmotnosti . Délka ramen paralelogramu je . je tíhové zrychlení a koeficient drsnosti mezi hmotným bodem a tělesem paralelogramu.

Určit: podmínky pohybu hmotného bodu

Určete podmínky pohybu hmotného bodu po tělese paralelogramu.

---

Obr.2 Uvolnění hmotného bodu

Řešení:

K řešení použijeme uvolňovací metodu v kombinaci s D'Alembertovým způsobem vyjádření setrvačných účinků. Unášivý pohyb koná těleso paralelogramu. Je to pohyb posuvný. Relativní pohyb bodu po paralelogramu je taktéž posuvný.

Složkové rovnice ve směru os a :

(1,2)

kde
je třecí síla mezi hmotným bodem a tělesem paralelogramu,
je D'Alembertova doplňková síla relativního pohybu,
je D'Alembertova doplňková síla unášivého pohybu.

V tomto případě jde pouze o složku normálovou (odstředivou). Složka tečná (na obr. 2 znázorněna čárkovaně) je nulová , protože , tedy .
je tíhová síla působící na hmotný bod,
je síla normálová.

1) Podmínka kontaktu mezi hmotným bodem a tělesem paralelogramu

Z rovnice (2) vyjádříme normálovou sílu .

Podmínka pro styk bodu a tělesa je nenulová normálová síla (v mezním případě může být i nulová). Je vidět, že síla nabývá minima tehdy, jestliže . Tzn., že úhel je pro možnost ztráty kontaktu s podložkou kritickým místem. Podmínka nepřetržitého styku bodu a tělesa tedy je:

Odtud můžeme vyjádřit:

(3)

Parametry a jsou konstanty. Vztah (3) je omezující podmínka pro velikost úhlové rychlosti, aby nedocházelo k nadskakování hmotného bodu.

   Animace pohybu paralelogramu - nadskakování hmotného bodu (alternativně zde)

2) Oblast relativního pohybu hmotného bodu

Předpokládejme ,že na počátku pohybu byla relativní rychlost bodu vzhledem k tělesu paralelogramu nulová . Budeme zkoumat, za jakých podmínek nedojde k posunu bodu po tělese.

K pohybu nedojde tehdy, bude-li velikost setrvačných sil působících na bod menší než velikost síly třecí jenž pohybu brání (v mezním případě může nastat rovnost). Rovnici (1) přepíšeme do tvaru:

(4)

Absolutní hodnota na levé straně znamená, že abstrahujeme od směru relativního pohybu. Zajímá nás pouze informace, zda bod vzhledem k tělesu paralelogramu stojí nebo ne. Je-li relativní rychlost nulová, a nemá-li se tento stav změnit, musí být relativní zrychlení a tím i D'Alembertova doplňková síla relativního pohybu . Proto rovnici (4) můžeme po dosazení za a užití (2) přepsat do tvaru:

a odtud

(5)

Podmínka (5) říká, že pokud úhel nabývá takové hodnoty, že absolutní hodnota jeho sinu je menší (maximálně rovna) než pravá strana rovnice, potom nedochází k relativnímu pohybu bodu po tělese paralelogramu. To je graficky vyjádřeno na obrázku. Bod se v oblasti nebo symetricky nepohybuje. Přesáhnou-li funkční hodnoty pravé strany (5) na celém intervalu mezní čárkovanou křivku, která má s křivkou levé strany pouze dva společné body, potom k pohybu bodu nedojde nikdy.

Obr. 3 Grafické znázornění podmínky (5)

Příklad 13.2: Dynamika soustav těles, redukční metoda.

Tříčlenná soustava je tvořena nepohyblivým rámem č.1 se souřadnicovým systémem , ozebným hřebenem č.2 se souřadnicovým systémem a ozubeným segmentem č.3 se souřadnicovým systémem ve tvaru válce. Těleso 3 je na základním rámu uloženo rotačně, těleso 2 je počátkem 2 souřadnicového systému vedeno po přímce a vazba mezi tělesy 2 a 3 je valivá v dotykovém bodě . V obrázcích je zakreslena výchozí poloha a běžná poloha . Těleso 2 je zatíženo danou silou a vlastní tíhou, těleso 3 jen vlastní tíhou.

Dáno:

• rozměry , , , , ;
• hmotnostní charakteristiky , , , ;
• síla kde , jsou konstanty.

Určete pohyb dané soustavy redukcí na fiktivní hmotný bod v místě 2 tělesa 2.

Řešení:

Použijeme redukovanou pohybovou rovnici

(1)

kde polohovou souřadnicí soustavy bude

Redukovanou hmotnost vypočteme z rovnosti kinetické energie redukované a skutečné soustavy

(2)

Zde

a , se musí určit kinematickým řešením soustavy. Transformační rovnice pro těleso 2 a bod 3 je

(3)

Dosazení za vektory a transformační matici dává

takže

(4)

(5)

Eliminací vypočteme

(6)

a z rovnice (5)

(7)

Podmínku valení mezi tělesy 2 a 3 uplatníme jako rovnost odvalených oblouků

tedy

(8)

Ze (7) je

přičemž ze (6) je

Dosazením do (8) nakonec máme

(9)

Protože podle (6) je , je (9) zápisem zdvihové funkce .

Úhlovou rychlost určíme implicitní derivací vztahu (6) upraveného na tvar

tzn.

takže

(10)

Rychlost těžiště tělesa 2 určíme derivováním transformační rovnice

tzn.

Dosazením za vektory a transformační matici dostaneme

tedy

(11)

(12)

Z toho

(13)

Zbývá vypočítat . Z (9) dostaneme

takže s přihlédnutím k (10) je

(14)

Dosazením do (2) můžeme nyní určit redukovanou hmotnost

(15)

Redukovanou sílu určíme z rovnosti okamžitých výkonů působících sil

Vzhledem ke směrům působících sil , a je dále

(16)

Zde chybí výpočet . Transformační rovnice pro těleso 3 a bod je

takže

Dosazením máme

takže

(17)

Dosazením do (16) dostaneme

Pro dosazení do (1) zbývá určit

Derivaci určete z (15) sami. Nepřehlédněte, že , takže

Výsledná diferenciání rovnice je analyticky neřešitelná. Musí se použít numerické řešení.

Příklad 14.1: Kmitání rotujícího tělesa.

Nehmotné rotačně uložené těleso nese hmotný bod. Jeho pohyb je určen soustavou pružin a tlumičem, připojenými podle obrázku.

Dáno:

• hmotnost hmotného bodu;
• délky , ramen;
• volné délky , , a konstanty tuhosti , , pružin;
• konstanta tlumiče .

Určete:

• hlavní pohybovou rovnici;
• vlastní frekvenci netlumených kmitů;
• tlumicí frekvenci ;
• poměrný útlum za předpokladu "malých" výchylek .

Řešení: začíná uvolněním tělesa.

Rovnice dynamické rovnováhy jsou

	(1)
	(2)
	(3)

Specifikovat můžeme silové účinky

(4)

(5)

(6)

přičemž je konstanta tuhosti celé soustavy pružin. V soustavě jsou dvě pružiny paralelně; jejich ekvivalentní tuhost je

Pro sériové řazení a pak platí

takže

(7)

Kinematické rovnice jsou

(8)

(9)

(10)

(11)

Dosadíme-li nyní do (3), dostáváme

Pro malé výchylky je

takže

je finální tvar hlavní pohybové rovnice.

Úpravou

a srovnáním se standardním tvarem

dostáváme

[1] Bradský, Z., Vrzala, R.: Mechanika III. Dynamika, skripta, TU Liberec, Liberec 1990

[2] Brdička, M., Hladík, A.: Teoretická mechanika, Academia - nakladatelství Československé akademie věd, Praha 1987

[3] Felber, V.: Technická mechanika - mechanika hmotného bodu s úvodem do vektorového počtu, Technicko-vědecké nakladatelství, Praha 1951

[4] Hörmann, J. a kolektív: Technická mechanika pre silnoprúdovú elektrotechniku, Alfa, vydavatelstvo technickej a ekonomickej literatúry, SNTL, Praha 1986