Kinematika zvedacího zařízení podle obrázku.

Zadání

Dáno:

konstanty , ; rozměry , , , , ; závislost

Určit:

kinematické veličiny , , rotačního pohybu tělesa LAC; kinematické veličiny , , v GSS a v LSS .

Řešení:

Zavedeme globální a lokální polohové vektory

a napíšeme transformační rovnici pohybu ramene LAC pro bod A

která platí spolu s podmínkou pro vzdálenost ve tvaru,

(1)

Vzdálenost můžeme zapsat pomocí skalárního součinu

přičemž

je zde transformační matice pro rotaci okolo osy , takže platí

a skalární součin

Výsledek dosadíme do druhé mocniny podmínky (1) a máme

Upravíme na tvar

(2)

To je tzv. úplná rovnice trigonometrická typu

(3)

Taková rovnice se řeší substitucí

(4)

která danou rovnici převede na tvar

resp.

s řešením

a určíma řešením soustavy (4). Nejprve rovnice dělíme, takže

Potom obě rovnice (4) povýšíma na druhou a sečteme

(znaménko + nebo - se vybere tak, aby řešení odpovídalo zadání). Nakonec je tedy řešení rovnice (3)

V našem případě je

takže

(5)

Druhý člen je

což je úhel BLG, který je rozhodně větší než úhel v zadávacím obrázku. Proto musí být 1.člen v (5) záporný; protože čitatel v argumentu arcsinu je záporná hodnota, musí jmenovatel být kladný, tedy vybíráme znaménko +. Výsledek pro je tedy

(6)

Úhlová rychlost je podle definice

Protože by bylo pracné derivovat (6), použijeme implicitní derivaci vztahu (2) s přihlédnutím k tomu, že , , jsou konstanty. Dostaneme

(7)

takže

(8)

přičemž za můžeme dosadit podle zadání

Úhlové zrychlení je podle definice

Opět nebudeme derivovat přímo (8), ale implicitně jednodušší vztah (7) s výsledkem

takže

Kinematické veličiny bodu C v GSS: Použijeme transformační rovnici pro bod C

(9)

neboli

Z toho složky polohového vektoru v GSS

Vektor rychlosti v GSS dostaneme derivováním (9). Protože a jsou konstantní, platí

(10)

Derivace matice je matice derivovaných členů. Neboli

Z toho složky vektoru rychlosti v GSS

(11)

Vektor zrychení v GSS dostaneme dalším derivováním (10). Dostaneme

Druhá derivace transformační matice se skládá ze dvou členů

Po vynásobení vektorem zprava máme složky vektoru zrychlení v GSS

(Ke stejnému výsledku bychom samozřejmě došli i přímým derivování rovnic(11)).

V LSS je polohový vektor bodu C zadán

Pro určení vektoru rychlosti použijeme výsledek z přednášky

takže

Podobně výsledky z přednášky pro vektor zrychlení v LSS dávají

takže

Nakonec vypočteme absolutní hodnoty(velikosti) vektorů rychlosti a zrychlení. Ty jsou stejné bez ohledu na použitý SS; použijeme proto lokální, protože složky zde vycházejí jednodušší. Je tedy

a