Dáno: Grafická závislost , počáteční podmínky .



Určit:

Určete závislost rychlosti na dráze, zrychlení na dráze, dráhy na čase, rychlosti na čase, zrychlení na čase a zrychlení na rychlosti.

---

Řešení:

Pro sestavení závislosti využijeme podobnosti trojúhelníků.

,

.

Závislost

.

Závislost

.

.

.

.

.

Závislost

.

Závislost

.

Závislost

.

---

Zpracoval: Oldřich Hybner

obr. 1

Dáno: ,

počáteční podmínky: , .

Jde o přímočarý pohyb podél vertikální přímky.

Určit: závilosti , a .

---

Řešení:

Dané zrychlení je podle definice derivací rychlosti podle času

Separace proměnných a integrace v sobě odpovídajících mezích

Výsledek integrace

Vypočtená rychlost je dále podle definice derivací dráhy podle času

Další separace proměnných a integrace v sobě odpovídajících mezích

Výsledek integrace

Vypočtené funkce , a zadanou nakreslíme do grafů (obr.2). Znázorníme závislost řešení na počátečních podmínkách.

obr. 2

Pozor:

Protože se jedná o grafy funkcí a jejich derivací nebo integrálů, musejí grafy odpovídat známým vztahům mezi nimi. Zde např. lokálnímu extrému odpovídá .

Zbývá určit závislost . Použijeme identitu

Dosadíme za , separujeme proměnné a integrujeme v sobě odpovídajících mezích.

Výsledek integrace

resp.:

Odpovídajícím grafem je podle obr.3 parabola s osou na ose , s vrcholem v bodě, kde je , tj. , otevřená doleva a procházející bodem . Řešení odpovídá jen část paraboly pod hodnotou . Jsou znázorněny paraboly pro , a :

obr. 3

Zpracoval: Pavel Čapek

Dáno: průběh během jedné periody

znázorněno v grafu (obr.1),

obr. 1

a podmínky periodicity

   pro zrychlení

   pro rychlost

   pro výchylku, dráhu,

přičemž rychlost a výchylka musí být spojité.

Určit: vztah mezi , ; ,

---

Řešení:

Obecně platí definice

Separace proměných a integrace

Výsledek po integraci

(1)

Analogicky pro výchylku

(2)

1. Aplikace na interval

Zde je , .

Dosazením do rovnice (1) dostaneme

Dosazením do rovnice (2) dostaneme

což dává

Hodnoty na konci intervalu jsou

(3)

(4)

S těmito hodnotami vstupují průběhy do 2. intervalu.

2. Aplikace (1) a (2) na interval

Zde je , .

Dosazením do rovnice (1) dostaneme

Dosazením do rovnice (2) dostaneme

což dává

Nyní dosadíme z (3) a (4) za a . Dostaneme

(5)

a

(6)

Hodnoty na konci 2. subintervalu jsou

(7)

a

(8)

Nyní aplikujeme podmínky periodicity. Podmínka pro zrychlení je splněna zadáním. Podmínka pro rychlost aplikována na (7) dává

(9)

Podmínka pro výchylku aplikována na (8) dává

(10)

Aplikace podmínek periodicity neurčuje žádnou hodnotu pro . Je tedy libovolné.

Nakonec dosadíme za , a do vyšších vztahů. V prvním subintervalu tak bude

V 2. subintervalu bude podle (5) a (6)

Hodnoty uprostřed intervalu jsou podle (3) a (4)

Výsledky ukazují, že rychlost je spojitá, po částech lineární funkce

a výchylka je spojitá, po částech kvadratická funkce

V grafickém znázornění je to "pilovitý" průběh pro rychlost a navazující paraboly pro výchylku, viz obr.2. Extrémy výchylky navstávají v časech, kdy rychlost (derivace dráhy) je nulová; minimum v 1. subintervalu, protože zde je zrychlení (2. derivace dráhy) kladné a maximum je v 2. subintervalu, protože zde je zrychlení záporné . Hodnoty extrémů jsou:

obr.2

Zpracoval: Jan Blažek

obr. 1

Dáno: , , ,

viz obr.1, při okrajových podmínkách a podmínce spojitosti .

Určit: , a časy , .

---

Řešení:

Z definice

vyplývá

Separace proměnných

(1)

Pro určení stačí separovanou diferenciální rovnici integrovat v konstantních mezích

s výsledkem

Z toho

Pro určení průběhu rychlosti integrujeme separovanou diferenciální rovnici (1) v proměnných mezích. Nejprve v prvním subintervalu, kde

výchází

Ve 2. subintervalu, kde

vychází

resp.

Podmínka spojitosti v je splněna neboť

Pro určení času vyjádříme rychlost v 1. subintervalu jako

a použijeme definiční vztah

resp.

Separace proměnných nyní bude

Integraci je možné provést v konstantních mezích, sobě navzájem odpovídajících

Výsledek integrace je

takže

Pro určení celkového času vyjádříme rychlost ve 2. subintervalu jako

příslušnou diferenciální rovnici separujeme do tvaru

a integrujeme v konstantních mezích

(2)

Integrál na levé straně řešíme substitucí

neboli

Rovnice (2) pak bude

Z toho

Po dosazení za a a úpravě je konečný výsledek

Když budeme separované diferenciální rovnice pro 1. a 2. subinterval integrovat v proměnných mezích, můžeme určit funkci .

V 1. subintervalu

Ve 2. subintervalu

Funkce , a vyneseme do grafů (obr. 2).

obr. 2

Pozor:

Protože funkce , a nejsou navzájem derivacemi nebo integrály, nehledejme mezi jejich grafy vztahy, které platí mezi křivkami navzájem derivačními nebo integračními.

Zpracoval: Pavel Čapek

Dáno:
Bod se pohybuje po přímce závislostí
Určete:
Rychlost a zrychlení jako funkce času , .

---

Řešení:
Při řešení vyjdeme ze vztahu pro rychlost

a zrychlení

Po derivaci dostáváme

a

---

Zpracoval: Radek Zbončák

Dáno: perioda , amplituda rychlosti

Určit: závislosti , , ,

---

Řešení:

Pro danou periodu a amplitudu rychlosti je průběh rychlosti:

(1)

Odpovídající průběh výchylky je pak

nebo-li

takže


resp. speciálně pro

(2)

Průběh zrychlení dostaneme derivováním

(3)

Grafy:

Obr.1 Průběhy s(t), v(t), a(t)

Pro určení fázové závislosti použijeme identitu

(4)

V našem případě je z (1)


a z (2)

(5)

Dosazení do (4)


dává rovnici elipsy v souřadnicích o poloosách a . Vypočtěme dále z (3)



a srovnejme s (5). Dostaneme rovnici přímky


Nakonec z (2) vypočteme ještě



Grafy:

Obr.2 Průběhy t(s), v(s), a(s)

---

Zpracoval: Arnošt Loos

Dáno:
Bod se pohybuje po přímce s rychlosti
V čase je
Určete:
Zrychlení a dráhu jako funkce času , .

---

Řešení:
Pro výpočet zrychlení vyjdeme ze vztahu


Dráhu vypočítáme z odvozeného vztahu


Po integraci a dosazení počátečních podmínek dostáváme

Po úpravě

---

Zpracoval: Radek Zbončák

Z letadla letícího ve výšce seskočí parašutista.

1. V intervalu letí parašutista rychlostí volným pádem, kde na něj působí odpor vzduchu. Součinitel odporu vzduchu je .
2. Ve výšce otevře padák, čímž velmi zvětší odpor vzduchu na . Parašutista letí rychlostí .

Dáno: , , , , , . Určit: Určit máme průběh rychlosti parašutisty v závislosti na dráze v obou intervalech, tj. a , dále velikost rychlosti, při které se otevře padák , a jakou rychlostí dopadne parašutista na zem. Poznámka: Při výpočtu neuvažujeme rychlost letadla a odpor prostředí předpokládáme závislý na druhé mocnině rychlosti. Řešení: Zrychlení parašutisty v odporujícím prostředí (s padákem nebo bez) probíhá podle obecného předpisu Zrychlení můžeme napsat jako

Sestavíme diferenciální rovnici

Tuto rovnici vyřešíme metodou separace proměnných a dále aplikací určitých integrálů kde jako dolní mez integrálu je obecně dráha při započetí děje s počáteční rychlostí . Po rozšíření pravé strany zlomkem a malé úpravě lze použít pravidlo o integrování zlomku, kdy v čitateli je derivace jmenovatele. Potom je integrálem tohoto zlomku logaritmus jmenovatele. Po integraci dostaneme Nyní máme funkci z ní určíme funkci inverzní a obdržíme řešení v obecném tvaru

Řešení pro konkrétní případ

1.fáze - volný pád parašutisty bez padáku

• součinitel odporu vzduchu je např.
• délka volného pádu
• počáteční rychlost seskoku
• počáteční poloha děje

vztah se v tomto případě zjednoduší na

Graf rychlosti

2.fáze - pád s otevřeným padákem

• součinitel odporu vzduchu při otevřeném padáku je např.
• počáteční poloha děje
• počáteční rychlost děje

Graf rychlosti

Průběh rychlosti parašutisty v celém intervalu

Graf rychlosti ,

Soubory ke stažení

Výpočový program v MathCadu:

para.mcd - MathCad v.2000

para6.mcd - MathCad v.6

Dáno:

Vyšetřete pohyb bodu vystřeleného v okamžiku počáteční rychlostí pod elevačním úhlem pro bezodporové prostředí .

Obr. 1 Zadání

Určit:

Určete polohové souřadnice bodu , rychlost a zrychlení bodu, místo dopadu a čas dopadu .

---

Řešení:

Podle obr. 2 jsou sestaveny vztahy pro zrychlení v kartézském souřadném systému: . Protože , rychlost bude konstantní () po celou dobu pohybu:

Obr.2 Bod v obecné poloze

.

(1)

Z (1) plyne: .

,

(2)

,

(2´)

,

,

.

(3)

Dále

,

(4)

,

(4´)

,

,

.

(5)

Potom

,

(6)

,

(6´)

,

,

,

.

(7)

Využitím vztahů (1), (2), (4), (6) pro vyjádření zrychlení a rychlosti v souřadném systému x, y získáme diferenciální rovnice (2´), (4´), (6´), které řešíme pomocí separace proměnných a následnou integrací levé a pravé strany v příslušných mezích.

Pro určení doby dopadu vycházíme ze vztahů (3), (7), přičemž dosadíme souřadnice místa dopadu potom:











Výsledky:

---

Zpracoval: Oldřich Hybner

Dáno: V polárních souřadnicích , je pohyb hmotného bodu určen vztahy


kde , , jsou dané konstanty.

Určit: Rovnici trajektorie HB, složky , rychlosti a složky , zrychlení při počátečních podmínkách

.

---

Řešení:

Úpravou definičního vztahu pro


a dosazením zadání dostaneme


což lze separovat do tvaru


a integrovat v odpovídajících mezích


s výsledkem


neboli


Úprava


neboli


To je rovnice elipsy s ohniskem v počátku polárních souřadnic ,
Pro složky rychlosti v polárních souřadnicích platí


V daném případě tedy


Absolutní hodnota rychlosti je



což je


Největší je rychlost pro


a nejmenší je rychlost pro


Pro složky zrychlení v polárních souřadnicích platí


V daném případě je




takže po dosazení


Dále


takže


Zrychlení má tedy jen radiální složku, orientovanou do středu polárních souřadnic. Jedná se o tzv. centrální pohyb, který konají např. planety okolo Slunce.

Obr.1 Volný pohyb hmotného bodu ve 2D

Vyšetříme ještě složky vektorů a v přirozeném souřadnicovém systému s bází ,
Platí


přičemž absolutní hodnota (viz. výše) je


Analogicky platí


Tečnou složku zrychlení vypočteme jako průmět vektoru do


V našem případě tedy tečná složka


Normálová složka zrychlení pak bude





V daném případě je po úpravě


takže po dosazní za , , , máme



Samotná hodnota je nakonec absolutní hodnotou vektoru na pravé straně. Znalost hodnoty navíc umožní výpočet poloměru křivosti eliptické trajektorie v příslušném bodě

---

Zpracoval: Arnošt Loos

Dáno: Sférické souřadnice , jako funkce času

a derivace sférické souřadnice

s počáteční podmínkou

Hodnoty , a jsou dané konstatnty.

Určit: Polohový vektor , vektor rychlosti a vektor zrychlení , vyjádřené ve složkách sférického souřadnicového systému s jednotkovými bázovými vektory , , .

---

Řešení:

Polohový vektor je ve sférických souřadnicích vyjádřen jako

tedy v daném případě

Vektor rychlosti je ve sférickém sořadnicovém systému vyjádřen jako:

kde pro složky platí

V daném případě tedy

Vektor zrychlení je ve sférickém sořadnicovém systému vyjádřen jako:

kde pro složky platí

Pro dosazení použijeme kromě zadaných funkcí ještě

Poslední výraz lze upravit na:

Abychom mohli nakreslit graf trajektorie bodu potřebujeme ke sférickým souřadnicím polohy a ještě polohový úhel . Podle zadání je

takže separací a integrací v korespondujících mezích

dostaneme

Pro zobrazení v kartézském systému je nutno transformovat sférické souřadnice , , podle vztahů vyplývajících z obrázku 2.

Obr.2 - Transformace sférických souřadnic do kartézských

Grafické znázornění pohybu bodu:

Graf funkce

Zpracoval: Jan Blažek

Dáno:
konstanty , , ,
trajektorie HB
-ová složka zrychlení jako funkce
a počáteční podmínky pro x-ovou složku rychlosti



Určit: , , .

---

Řešení:
x-ovou složku rychlosti určíme integrací x-ové složky zrychlení. Protože nezávisle proměnnou je , použijeme základního vzorce
v separovném tvaru
a dosadíme za a integrujeme v navzájem si odpovídajících mezích
Výsledkem integrace je
takže
neboli



Pro každou polohu x platí , přičemž pro úhel tečny platí současně .

V daném případě je tedy
nebo-li
Po dosazení za je
Pro určení y-ové složky zrychlení použijeme definici v úpravě
V našem případě je
takže po vynásobení je

---

Zpracoval: Radek Zbončák

Dáno: Konstanty , , , , ;
trajektorie HB (eliptická šroubovice)

rychlost ve směru osy jako funkce času

a počáteční podmínka pro

Určit:

---

Řešení:

Protože , musí platit

To je diferenciální rovnice pro .

Zapsaná v separovaném tvaru je

Připojíme integrační symboly se sobě odpovídajícími mezemi

a výsledek integrace je

Hodnotu zatím neznáme. Určíme ji z počáteční podmínky pro . Protože

je

Z toho vyplývá, že a

Pro souřadnice pak stačí napsat

Složky rychlosti jsou

a složky zrychlení

přičemž

a

Absolutní hodnota rychlosti je

a absolutní hodnota zrychlení

Vektor rychlosti leží na tečně k trajektorii, takže platí

Jednotkový tečný vektor je tedy

Zrychlení má složku tečnou a normálnou. Tečnou složku vypočteme jako průmět vektoru do směru tečny, tedy

Protože je

bude

Označíme-li jednotlivé kartézské složky vektoru jako bude

a jednotkový vektor v normálném směru

Nakonec jednotkový vektor v binormálném směru je

Zpracoval: Jan Blažek

Dáno: konstatnty , , , , , , ;

plocha 1:

(1)

plocha 2:

(2)

konstatní složka rychlosti ve směru osy

počáteční podmínka pro

Určit: , , , , , , , ;

---

Řešení:

-ová složka rychlosti je podle definice

V daném případě je dáno. Jedná se tedy o diferenciální rovnici. Její separovaný tvar je

Integrace se zadanou počáteční podmínkou

dává řešení

Z rovnice (2) plochy 2 pak přímo

a z rovnice (1) plochy 1 nakonec

Pro určení rychlosti ve směru osy derivujeme rovnici (2) podle času

(3)

Z toho

Analogicky derivováním rovnice (1) podle času dostaneme

(4)

Z toho

Zrychlení ve směru osy

protože je konstantní.

Zrychlení ve směru osy dostaneme derivováním rovnice (3)

Z toho

Nakonec zrychlení ve směru osy dostaneme implicitní derivací (4) podle času

To lze upravit na tvar

Po dosazení vyšších výsledků nakonec je

Zpracoval: Pavel Čapek

Bod se pohybuje se zrychlením po kružnici o poloměru Počáteční rychlost bodu v čase je a poloha bodu je Určete dobu zastavení a v okamžiku zastavení. Vektory rychlosti a zrychlení načrtněte.

Dáno:



Určit:

---

Řešení:

Pro tečné zrychlení platí

(1)

Pro určení rychlosti lze odvodit vztah

(2)

Po dosazení

a integraci

(3)

Normálové zrychlení dosazením do vztahu

(4)

vyjde

(5)

Celkové zrychlení vyjádřené jako vektor

takže

(6)

Pro určení vyjdeme ze vztahu pro určení délky dráhy

(7)

do něhož za dosadíme

(8)

Rychlost je dána jako

a pro určení vyjde vztah

(9)

Po dosazení za z rovnice a integraci vyjde

(10)

Čas zastavení vypočteme ze vztahu pro (zastavení)

(11)

Pak

(12)

Dosazením do za dostáváme

a po úpravě

(13)

Zobrazení vektorů je na obr. 1.

obr.1

---

Zpracoval: Radek Zbončák

Tvar vačky je dán vztahem
Rameno se otáčí konstantní úhlovou rychlostí s počátečními podmínkami

obr.1

¨

Dáno:

Určit:

bodu jako funkce
v čase

Řešní:

1) Při výpočtu použijeme vztahy pro vyjádření složek rychlosti a zrychlení v polárních souřadnicích

Pro úhel při platí

pak

Radiální složka rychlosti

(1)

Transverzální složka rychlosti

(2)

Podobně pro obě složky zrychlení

(3)

(4)

2) Úhlová rychlost je dána vztahem

Do vztahu (1) až (4) dosadíme za čas

---

Zpracovala: Lucie Skálová

Souřadnice bodu A jsou dány následujícími závislostmi:

Dáno:
r, h, l, ,

Určit:
, , ,

---

Řešení:

Jedná se o křivočarý pohyb bodu v rovině xy.

Pro výpočet rychlosti jsou použity vztahy a

Po derivaci dostáváme

kde

Při výpočtu zrychlení platí a

Pak

Protože

---

Autor: Iva Petríková, Zpracoval: Radek Zbončák

Dáno:





Určit:
v(t), a(t)

---

Řešení:

Rychlosti:

Zrychlení:

---

Autor: Iva Petríková, Zpracoval: Radek Zbončák

Pohyb bodu je dán závislosti

Dáno:




Určit:

---

Řešení v kartézském souřadnicovém systému:

Pro a složku rychlosti platí tj.

Velikost rychlosti je dána jako

Pro x a y složku zrychlení vyjde podle vztahů

Pak velikost zrychlení je

Řešení v přirozeném souřadnicovém systému (tečna, normála):

Pro tečné zrychlení je

a pro normálové zrychlení platí vztah

protože poloměr křivosti není dán, je třeba určit pomocí vztahu

(1)

A po úpravě

Po dosazení do upraveného vztahu (1) je pro poloměr křivosti

---

Autor: Iva Petríková, Zpracoval: Radek Zbončák

Dáno: , , ,

Jsou dány dva body A, B, spojené lanem konstantní délky . Bod A se pohybuje rychlostí a unáší bod B.

Obr. 1

Určit: , ,

Určete polohu, rychlost a zrychlení bodu B v závislosti na dráze bodu A.

---

Řešení:

Obr. 2

1) Dráha bodu B

Z obrázku je zřejmé, že vzdálenost , kterou urazil bod B musí být rovna rozdílu délek lana a .

(1)

2) Rychlost bodu B

Rychlost bodu B je dána časovou derivací jeho dráhy

Protože je často výhodnější derivovat implicitní funkce, převedeme rovnici (1) do tvaru (*)

(*)

derivujeme dle času a zkrátíme dvěma.

(**)

z toho plyne:

3) Zrychlení bodu B

Zderivujeme implicitní rovnici (**) dle času:

tedy zrychlení bodu B je:

Dáno:

Rameno r se otáčí konstantní úhlovou rychlostí Bod A je spojen s bodem B lanem délky l, které je vedeno přes kladku C zanedbatelného průměru.

Obr. 1. Zadání.

Určit:

Vypočítejte rychlost a zrychlení bodu A.

---

Řešení:

Souřadnice bodu A sestavíme:

,

(1)

,

(2)

kde

,

a

.

Po úpravě a dosazení za dostaneme

.

(3)

Pro úhel platí .

Potom

,

(4)

.

(5)

Složky rychlosti jsou dány:

,

(6)

.

(7)

Složky zrychlení jsou dány:

,

(8)

,

.

(9)

Výsledná velikost rychlosti a zrychlení:

,

.

---

Zpracoval: Oldřich Hybner

Dáno:

Na kotouči je navinuto lano, které je druhým koncem připojeno v bodě A k otočnému rameni.

Obr. 1. Zadání

Určit:

Určete úhlovou rychlost a zrychlení kotouče.

---

Řešení:

Při konstantní úhlové rychlosti platí pro vztah

.

(1)

Z geometrie získáme vztahy:

,

(2)

,

(3)

.

(4)

Prodloužení vlákna je dáno vztahem

,

(5)

kde je vyjádřeno z rovnic

,

(6)

,

(7)

,

(8)

,

(9)

kde je pootočení kotouče.

Vyjádříme ze vztahu (5)

.

Derivací obdržíme vztahy pro úhlovou rychlost a úhlové zrychlení

,

.

---

Zpracoval: Oldřich Hybner

Dáno:
Konstanty , ,
rychlost bodu jako funkce jeho polohy

(1)

Určit:

---

Řešení:

Zrychlení bodu
Protože je rychlost dána jako funkce polohy , použijeme vztah



Derivaci určíme implicitním derivováním vztahu (1)


Z toho přímo



Poloha bodu
Rovnice vazby, vyjadřující konstatní délku lana je:


z toho


Pro následný výpočet rychlosti upravíme na


respektive

(2)

Rychlost bodu
Podle definice je


Derivaci vypočteme implicitním derivováním vztahu (2)

(3)

Z toho


nebo také


Zrychlení bodu
Podle definice je


Derivaci vypočteme implicitním derivováním vztahu (3).


Z toho


nebo

---

Zpracoval: Arnošt Loos

HB se pohybuje po vetikální přímce, která je osou parabolické trajektorie HB .

Dáno:

Konstanty , , ,

rovnice trajektorie ,

rychlost HB ,

počáteční podmínka pro


Určit:

Kinematické veličiny , HB .

Kinematické veličiny , , HB .

Hodnotu tak, "aby se tyč nepřetrhla".

---

Řešení:

Polohový vektor bodu .


Složku (souřadnice) určíme z diferenciální rovnice


separací


a integrací


s výsledkem

,

Zrychlení bodu
určíme jako


kde


Tedy


Polohový vektor bodu


Protože se bod pohybuje po dané trajektorii , platí

(2)

Současně platí vazebná rovnice, vyjadřující konstantní ( = L ) vzdálenost bodu od bodu


Dosadíme za z rovnice (1) a upravíme


To je kvadratická rovnice pro .
Standartní tvar je

(3)

Řešením rovnice jsou kořeny


Platný kořen je ten s menší hodnotou . Tedy po úpravě

(4)

a z rovnice (1)


Pozn.:
Do výsledků pro , není nutno zavádět vypočtenou funkci . Při pozdějším derivování je ale třeba na časovou proměnnost pamatovat.

Rychlost bodu je vektor


přičemž

Derivace určíme implicitním derivováním, nejprve vztahu (3).

(5)

Z toho vypočteme


x - ovou složku rychlosti bodu určíme z (2):

(6)

takže

Zrychlení bodu
je vektor
kde


Obě derivace opět určíme implicitním derivováním. Nejprve vztahu (5) (po dělení 2)


Neznámá je , takže


neboli


Ze vztahu (6) nakonec


a z toho


neboli


Určení , "aby se tyč nepřetrhla ".
Vazebnou podmínku, aby vzdálenost bodů a byla , lze splnit jen když vypočtené z (4) je reálné číslo. To znamená, že člen pod odmocninou musí být kladný.
Tedy


Tato nerovnost je splněna, když


neboli také když

(7)

Maximum pro podle (1) nastává v čase , kdy
neboli

Z toho

takže podle (1)

Řešením nerovnosti (7) pro pak je

.

---

Zpracoval: Arnošt Loos

Bod se pohybuje po přímkové trajektorii , bod po kružnici . Vazba je realizována lanem, vedeným po oblouku kružnice . Výchozí polohy bodů jsou označeny ,.

Dáno:
konstanty , ;
rychlost bodu

Určit: délku lana ;
zrychlení bodu ;
kinematické veličiny bodu : , , .

Řešení: Délka lana je dána délkou oblouku mezi body , .

Zrychlení bodu . Protože rychlost je dána jako funkce dráhy , použijeme vztah

Poloha bodu je na kružnici jednoznačně určena polohovým úhlem . Určíme jej z vazebné podmínky pro délku lana

takže

(1)

Pro pomocný úhel platí

(2)

takže

To ale platí, jen pokud část lana leží na oblouku kružnice . Tedy jen pokud (podle obrázku)

Omezení pro tak vychází

Pro se situace změní.

Kosinová věta pro obecný je

(3)

takže

(4)

Protože

(5)

je

Nakonec úplný výsledek

Další kinematické veličiny vyjádříme v souřadnicovém syslému "tečna, normála".

Rychlost bodu je derivace proběhnuté dráhy podle času

Proběhnutá dráha je v našem případě délka oblouku , tedy

Je tedy

Časovou derivaci určíme implicitním derivováním. Pro budeme derivovat vztahy (1) a (2).

(6)

(7)

takže

přičemž závisí na podle (2).

Pro budeme derivovat (3) a (5) s výsledkem

(8)

(9)

takže

přičemž závisí na podle (4). Nakonec po úpravě a dosazení

kde

(10)

Zrychlení bodu má složku normálovou a tečnou . Protože poloměr křivosti kružnice je , platí pro normálovou složku

neboli

když pro opět platí (10).

Tečná složka zrychlení je derivace podle času, tj.

Pro budeme derivovat (6) a (7)

Po úpravě a dosazení , máme

V intervalu derivujeme (8) a (9).

Z toho po úpravě a dosazení

Dáno:

- směrové úhly , , .

Určit:

- transformační matici .

---

Řešení:

Pro směrové úhly lokálních souřadnicových os , , platí ( jako pro kteroukoliv přímku )

(1.1)

(2.1)

(3.1)

Kromě toho musí být jednotkové fázové vektory , , navzájem kolmé, takže

(4.1)

(5.1)

(6.1)

Vyjádření lokálních bázových vektorů , , pomocí složek v globálním souřadnicovým systému je

takže dosazení do rovnic (4.1) až (6.1) je

(4.2)

(5.2)

(6.2)

V rovnicích (1.1) až (3.1) a (4.2) až (6.2) jsou tři hodnoty zadány, takže pro zbývajících 6 je soustava úplná.

Označme nyní pro stručnost

Z rovnic (1.1) až (3.1) vypočteme , ,

(1.2)

(2.2)

(3.2)

a dosadíme do (4.2) až (6.2). Po rozdělení na obě strany rovnic a umocnění dostaneme

(7.1)

(8.1)

(9.1)

V rovnicích (7.1) až (9.1) jsou nyní jen tři neznámé . Rovnice jsou ale kvadratické, takže celkem exituje různých řešení. Před numerickým řešením rovnice dále zjednodušíme. Roznásobením levé a pravé strany rovnice (7.1) dostaneme

a po úpravě

máme standartní kvadratickou rovnici tvaru

kde význam je zřejmý.

Pro dané hodnoty , , je numerický výsledek

Nyní vybereme například kladnou z vypočtených hodnot a dosadíme do (1.2) a (2.2).

Vypočteme

Vybereme například opět kladné hodnoty a máme jedno kompletní řešení pro 1. a 2. sloupec transformační matice resp. pro složky , . Odpovídající jednotkový vektor pak můžeme stanovit z rovnice

Numericky

Nakonec je tedy jedno z možných řešení pro transformační matici

Poznámka: Z důvodu nejednoznačnosti řešení se směrové úhly os lokálního SS pro výpočet prvků transformační matice nepoužívají. Později poznáme jiné systémy tzv. prostorových úhlů používané pro výpočet prvků transformačních matic.

Zpracoval: Pavel Čapek

Dáno:

Konstanty , ; průběh úhlového zrychlení

Počáteční podmínky ,

Určit:

Závislosti a

Řešení:

Polohový úhel vyřešíme ze základního vztahu

který zapíšeme ve tvaru

Za dosadíme danou závislost,takže

Integrujeme v korespondujících mezích

s výsledkem (po úpravě)

Čas jako funkci úhlové rychlosti vypočteme z definiční rovnice

kterou upravíme do tvaru

dosadíme za

a integrujeme v sobě odpovídajících mezích

s výsledkem (po úpravě)

Grafy funkcí

Grafy funkcí

Kinematika zvedacího zařízení podle obrázku.

Zadání

Dáno:

konstanty , ; rozměry , , , , ; závislost

Určit:

kinematické veličiny , , rotačního pohybu tělesa LAC; kinematické veličiny , , v GSS a v LSS .

Řešení:

Zavedeme globální a lokální polohové vektory

a napíšeme transformační rovnici pohybu ramene LAC pro bod A

která platí spolu s podmínkou pro vzdálenost ve tvaru,

(1)

Vzdálenost můžeme zapsat pomocí skalárního součinu

přičemž

je zde transformační matice pro rotaci okolo osy , takže platí

a skalární součin

Výsledek dosadíme do druhé mocniny podmínky (1) a máme

Upravíme na tvar

(2)

To je tzv. úplná rovnice trigonometrická typu

(3)

Taková rovnice se řeší substitucí

(4)

která danou rovnici převede na tvar

resp.

s řešením

a určíma řešením soustavy (4). Nejprve rovnice dělíme, takže

Potom obě rovnice (4) povýšíma na druhou a sečteme

(znaménko + nebo - se vybere tak, aby řešení odpovídalo zadání). Nakonec je tedy řešení rovnice (3)

V našem případě je

takže

(5)

Druhý člen je

což je úhel BLG, který je rozhodně větší než úhel v zadávacím obrázku. Proto musí být 1.člen v (5) záporný; protože čitatel v argumentu arcsinu je záporná hodnota, musí jmenovatel být kladný, tedy vybíráme znaménko +. Výsledek pro je tedy

(6)

Úhlová rychlost je podle definice

Protože by bylo pracné derivovat (6), použijeme implicitní derivaci vztahu (2) s přihlédnutím k tomu, že , , jsou konstanty. Dostaneme

(7)

takže

(8)

přičemž za můžeme dosadit podle zadání

Úhlové zrychlení je podle definice

Opět nebudeme derivovat přímo (8), ale implicitně jednodušší vztah (7) s výsledkem

takže

přičemž

Kinematické veličiny bodu C v GSS: Použijeme transformační rovnici pro bod C

(9)

neboli

Z toho složky polohového vektoru v GSS

Vektor rychlosti v GSS dostaneme derivováním (9). Protože a jsou konstantní, platí

(10)

Derivace matice je matice derivovaných členů. Neboli

Z toho složky vektoru rychlosti v GSS

(11)

Vektor zrychení v GSS dostaneme dalším derivováním (10). Dostaneme

Druhá derivace transformační matice se skládá ze dvou členů

Po vynásobení vektorem zprava máme složky vektoru zrychlení v GSS

(Ke stejnému výsledku bychom samozřejmě došli i přímým derivování rovnic(11)).

V LSS je polohový vektor bodu C zadán

Pro určení vektoru rychlosti použijeme výsledek z přednášky

takže

Podobně výsledky z přednášky pro vektor zrychlení v LSS dávají

takže

Nakonec vypočteme absolutní hodnoty(velikosti) vektorů rychlosti a zrychlení. Ty jsou stejné bez ohledu na použitý SS; použijeme proto lokální, protože složky zde vycházejí jednodušší. Je tedy

a

Pootočení kola je dáno závislostí Určete úhlovou rychlost a úhlové zrychlení kola.

Dáno:

Určit:

Řešení:

Při řešení vyjdeme ze vztahů

Úhlová rychlost vyjde po časové derivaci

Úhlové zrychlení získáme derivací podle t

---

Zpracovala: Lucie Skálová

Úhlové zrychlení je dáno vztahem

Po 25 otáčkách bude mít motor úhlovou rychlost

Dáno:

Určit: po otáčkách.

Řešení:
Protože úhlové zrychlení je funkcí , vyjdeme ze vztahu

(1)

Po úpravě dostáváme vztah

(2)

Úhel je dán a po dosazení za vyjde

(3)

Po integraci dostáváme

(4)

Z rovnice (4) vyjádříme

(5)

Úhlová rychlost po 50 otáčkách je dána vztahem pro

(6)

---

Zpracovala: Lucie Skálová

Dáno:

Rameno délky rotačně uložené v bodě A je z vodorovné polohy zvedáno hydraulickým válcem dle obrázku. Píst válce se vysunuje konstantní rychlostí .

Obr. 1. Zadání

Určit:

Vyšetřete závislost úhlu na čase, úhlové rychlosti na čase, úhlového zrychlení na čase a rychlost a zrychlení bodu B.

---

Řešení:

Při řešení vyjdeme z geometrie ACD (obr. 2). V něm známe vzdálenost , a strana , tj. původní vzdálenost zvětšená o délku vysunutí pístu při konstantní rychlosti .

Obr. 2. Rozbor geometrie

Využitím kosinové věty pro obecný ACD dostaneme:

,

(1)

kde je vyjádřen vztahem

.

Z rovnice (1) vyjádříme úhel závislý na čase

.

(2)

Pro úhlovou rychlost a úhlové zrychlení ramene platí: a .

Pro zjednodušení provedeme implicitní derivace rovnice (1)

.

(3)

Z rovnice (3) vyjádříme

.

(4)

Pro určení zderivujeme rovnici (3)

,

.

(5)

Z rovnice (5) vyjádříme

.

(6)

Rychlost a zrychlení bodu B jsou dány vztahy pro pohyb bodu po kružnici:

,

(7)

,

(8)

.

(9)

Směry vektorů rychlosti a zrychlení jsou zřejmé z obrázku 3.

Obr. 3. Směry kinematických veličin

---

Zpracoval: Oldřich Hybner

Elektrický motor pohání brusný kotouč s konstantním úhlovým zrychlením. Motor dosáhne pracovních otáček za čas po jeho zapnutí. Určete úhlové zrychlení brusného kotouče

Dáno:

Určit:

Řešení:

Pro úhlové zrychlení platí

(1)

z toho

(2)

Úhlová rychlost po rozběhu je

Potom ze vztahu (2) vyjde

(3)

Po dosazení číselných hodnot

---

Zpracovala: Lucie Skálová

Elektrický motor pohánějící brusný kotouč má po zapnutí úhlové zrychlení Určete čas kdy dosáhne a kolikrát se otočí

Dáno:

Určit:

Pro platí

(1)

resp.

(2)

Po integraci při vyjde

(3)

je-li a pro úhlovou rychlost je

(4)

Úhlová rychlost při je

(5)

pak

(6)

(7)

Pro určení vyjdeme ze vzahu pro

(8)

resp.

(9)

po dosazení za a je úhel otočení na konci rozběhu

(10)

a po integraci

(11)

(12)

z toho pro platí

(13)

---

Zpracovala: Lucie Skálová

Lana s břemeny jsou navinuta na bubnu se dvěma poloměry . Břemeno má v daném okamžiku rychlost při pohybu dolů a zrychlení (zpoždění) .

obr.1

Dáno:

Určit:
1) Zrychlení břemena
2) Zrychlení bodu na obvodu bubnu






















Řešení:

obr.2

Zrychlení břemen jsou rovna tečným zrychlením v bodech dotyku :

1) Okamžité úhlové zrychlení bubnu lze určit ze vztahu

(1)

pak

Pro tečné zrychlení v bodě platí

(2)

---

2) Zrychlení v bodě v souřadnicích tečna, normála je

(3)

kde

Obvodová rychlost bodu a je stejná

(4)

a pro normálové zrychlení bodu platí

---

Zpracovala: Lucie Skálová

Bod se pohybuje po kružnici o poloměru se závislostí Určete rychlost a zrychlení ve vektorovém tvaru v souřadném systému a . Dále určete velikost rychlosti a zrychlení v čase , směry vektorů zakreslete do obrázku.


Dáno:






Určit:

v s. s.
v s. s.
v s. s.
v s. s.

---

Řešení:







Ve vektorovém vyjádření:













Vyjádření v s. s. x, y:

---

Autor: Iva Petríková, Zpracoval: Zozulák Petr

Dáno:

Pro polohový vektor referenčního bodu je dána -ová globální souřadnice jako funkce

a y-ová globální složka vektoru rychlosti jako funkce

Pro relativní rotaci okolo referenčního bodu je dáno úhlové zrychlení jako funkce

Dále josu dány konstanty , , , a počáteční podmínky , .

Obr. 1

Určit:

- trajektorii

- vektor rychlosti

- vektor zrychlení

bodu o lokálních souřadnicích , .

---

Řešení:

Trajektorie bodu B

Pro určení trajektorie libovolného bodu musíme znát složky polohového vektoru referenčního bodu L a polohový úhel relativní rotace, vše jako funkce nějakého parametru. V daném případě může být parametrem hodnota .
x-ová souřadnice je zadána přímo jako funkce parametru

Pro y-ovou souřadnici je zadána rychlost, tj. derivace podle času. Platí

takže pro určení máme dif. rovnici

Řešíme separací

a integrací s korespodujícími mezemi

Výsledek

Pro relativní rotaci je dáno .

Platí tedy

takže

a

Integrál na pravé straně se řeší metodou per partes. Zvolíme-li a , bude a , takže

neboli nakonec

Při použití v daných mezích tak je

(1)

Dále je . Platí tedy

takže separací

a integrací

dostáváme

(2)

Parametrická rovnice trajektorie je pak

(3)

neboli

Vektor rychlosti bodu B v GSS dostanemme derivováním (3) podle času. Protože ale

(4)

je

(5)

V našem případě je

přičemž podle (2) a podle (1) a

Vektor zrychlení bodu B v GSS dostaneme derivováním (5) podle času s přihlédnutím k (4). Pak

V daném případě je

a

Zpracoval: Pavel Čapek

Šoupátka a jsou vedena ve vodorovné resp. svislé drážce a jsou spojena tyčí délky . V poloze na obr. 1 se šoupátko pohybuje vpravo s konstantní rychlostí Určete rychlost šoupátka a úhlovou rychlost natočení tyče v dané poloze.


Dáno:

obr.1

Určit:

Řešení:

obr.2

Pro rychlost bodu platí

(1)

kde je rychlost bodu při unášivém posuvném pohybu a je rychlost bodu při relativním rotačním pohybu kolem bodu Do základní rovnice dosadíme

(2)

a rozepíšeme ji do dvou rovnic

(3)

(4)

Z rovnice (3) dostaneme

Z rovnice (4) dostaneme velikost rychlosti

Úhlová rychlost obecného rovinného pohybu tělesa je dána

---

Zpracovala: Lucie Skálová

Válec se valí po poloměru a jeho střed má rychlost v naznačeném směru.

Dáno:

obr.1

Určit:

1)
2)
Vektory všech rychlostí zakreslete.

Řešení:

Bod je pól pohybu (bod s nulovou rychlostí). Bod se v daném okamžiku otáčí(rotuje) kolem bodu a jeho rychlost je

(1)

odtud určíme

(2)

(3)

U rychlostí , vyjdeme při výpočtu ze základního rozkladu obecného rovinného pohybu na posuvný a rotační (relativní) pohyb.

Rychlost bodu je dána vztahem

(4)

kde

(5)

(6)

Pro rychlost bodu platí analogicky

(7)

kde

(8)

(9)

Pro rychlost bodu podobně

(10)

kde

(11)

pak

(12)

Velikost rychlosti je

(13)

Směr vektoru je dán úhlem

(14)

odkud

Znázornění rychlostí a

obr.2

---

Zpracovala: Lucie Skálová

Obr. 1

Dáno: čtyřčlenný mechanismus, ,

Je dán čtyřčlenný mechanismus. Hnací člen 2 je unášen úhlovou rychlostí a úhlovým zrychlením .

Určit: , , ,

Určete rychlost a zrychlení bodu A (, ) a úhlovou rychlost a zrychlení členu 4 (, ).

---

Řešení:

Obr. 2

­­­ Řešení rychlostí:

• při řešení použijeme rozkladu pohybu v bodě A:

• pro rychlosti v bodě A dostaneme:

  
  
  

• nositelkami rychlostí jsou příslušné tečny:

1)		Tečna trajektorie bodu A v pohybu je kolmice na normálu trajektorie bodu A v pohybu , kde normála je spojnicí bodu A a pólu pohybu .
2)		je nositelka rychlosti . Je kolmá na normálu trajektorie bodu A v pohybu . Protože bod A náleží též členu 4, je normála a je dána spojnicí bodu A a pólu .
3)		Nositelkou rychlosti je tečna , která je kolmá na normálu unášivého pohybu . To je spojnice bodu A a pólu pohybu .
4)		Velikost rychlosti unášivého pohybu v bodě A je dána součinem úhlové rychlosti a průvodiče bodu A, tzn. vzdálenosti .
5)		Sestrojíme vektorový obrazec, z kterého určíme směry vektorů rychlostí.

Řešení zrychlení

• při řešení zrychlení použijeme rozklad pohybu v bodě A takto :

  kde obecně každé zrychlení má normálovou a tečnou složku

6)		Normálovou složku zrychlení výsledného pohybu bodu A sestrojíme Euklidovou konstrukcí. Střed křivosti trajektorie bodu A při pohybu , je v
7)		Použijeme Euklidovu konstrukci z rychlosti a středu křivosti
8)		Protože pohyb tělesa 3 ku 2 je posuvný, bude normálová složka zrychlení rovna (střed křivosti trajektorie je v nekonečnu ).
9)		Tečnou složku unášivého zrychlení určíme výpočtem.
10)		Velikost Coriolisova zrychlení bodu A určíme Coriolisovou konstrukcí a směr dle pravidla pravé ruky.
11)		Nositelka tečné složky zrychlení je a nositelka tečné složky zrychlení je . Sestrojíme vektorový obrazec.
12)		Velikost úhlové rychlosti vypočteme z velikosti rychlosti a velikosti průvodiče bodu A při rotaci kolem
13)		Velikost úhlového zrychlení vypočteme z velikosti tečné složky zrychlení a velikosti průvodiče bodu A při rotaci kolem

Dáno:

Obr. 1. Zadání

Určit:

Vyšetřete rychlost a zrychlení bodu M graficky v zadané poloze.

---

Řešení:

Měřítka:





Pro grafické řešení je použit Coriolisův rozklad na současné pohyby.

Pro bod A platí: 21 = 31 = 34 + 41

Pro rychlost platí rovnice:

Obr. 2. Konstrukce rychlostí

Pro zrychlení platí rovnice:

Obr. 3. Konstrukce zrychlení

Výsledky:







.

Dáno:

Numericky jsou zadány veličiny

Určit:

Určete rychlost a zrychlení bodu M a N graficky.

Obr.1. Zadání

---

Řešení:

Měřítka:

Rychlost a zrychlení bodu N:

Rychlost a zrychlení bodu N získáme užitím věty o zorném úhlu ze získané rychlosti a získaného zrychlení (zřejmé z obrázku). Rychlost a zrychlení bodu N odměříme a přepočteme pomocí měřítka na skutečnou velikost.

Obr.2

Obr.3.

Autor: Iva Petríková,

Dáno:

Je dán mechanismus dle obr.1. Tyč prochází stále bodem 0 a bod A je veden konstantní rychlostí po přímce.

Obr.1. Zadání

Určit:

Určete kinematické veličiny bodu

---

Řešení:

Souřadnice bodu M:

(1)

(2)

Z určíme :

(3)

(4)

Po dosazení do (1), (2) dostaneme:

(5)

(6)

Rychlost bodu M:

(7)

(8)

Velikost vektoru :

(9)

Zrychlení bodu M:

(10)

(11)

Velikost vektoru

(12)

Dáno:

Určete kinematické veličiny zavěšené kladky zvedacího zařízení dle Obr.1 a také rychlost zvedání břemene.

Obr.1. Zadání

Určit:

Vyřešte kinematické veličiny

---

Řešení:

Obr.2. Znázornění rychlostí

Následující závislosti jsou zřejmé z Obr.2. V něm provedeme rozklad na současné pohyby.

1) Bod : 31=32+21

(1)

(2)

(3)

2) Bod B:

(4)

3) Bod B´:

(5)

(6)

(7)

4) Bod S:

(8)

(9)

(10)

Dáno:

Určete kinematické veličiny zavěšené kladky zvedacího zařízení a také rychlost zvedání břemene dle Obr.1

Obr.1. Zadání

Určit:

Určete kinematické veličiny

---

Řešení:

Obr.2. Znázornění rychlostí

(1)

(2)

Z rovnice (2) dostaneme po úpravě vztah pro míru x:

(3)

Po dosazení do (1):

(4)

Podle Obr.2. platí

a z toho

(5)

po dosazení

(6)

Rameno rotuje stálou rychlostí Bod (objímka) se po rameni posouvá okamžitou rychlostí a zrychlením Vyšetřete absolutní rychlost a zrychlení bodu v dané poloze pro a

obr. 1

---

Řešení:

Rychlost bodu B je dána vektorovým součtem rychlosti unášivé a relativní

(1)

Unášivý pohyb je rotační, pak

Pohyb bodu B po tyči je dán rychlostí


V kartézském souřadném systému je

(2)

Podobně pro rychlost relativního pohybu

(3)

Výsledná rychlost bodu B v dané poloze je


její velikost je


Pro zrychlení bodu B platí

(4)

Coriolisovo zrychlení protože unášivý pohyb je rotační.
Unášivé zrychlení je dáno součtem


kde

(5)

Protože



Relativní zrychlení je

(6)

a vyjádřeno ve složkách


Velikost Coriolisova zrychlení je

(7)

Vektor Coriolisova zrychlení je dán vektorovým součinem


který vypočítáme pomocí determinantu


Celkové zrychlení je

---

Autor: Iva Petríková, Zpracoval: Radek Zbončák