Navigace

Hlavní nabídka
Obsah


Hmotný bod na paralelogramu

Obr.1 Počáteční poloha paralelogramu
Dáno : , , , ,

Je dán paralelogram rotující s konstantní úhlovou rychlostí . Na tělese paralelogramu je umístěn hmotný bod o hmotnosti . Délka ramen paralelogramu je . je tíhové zrychlení a koeficient drsnosti mezi hmotným bodem a tělesem paralelogramu.

Určit: podmínky pohybu hmotného bodu

Určete podmínky pohybu hmotného bodu po tělese paralelogramu.

Obr.2 Uvolnění hmotného bodu


Řešení:

K řešení použijeme uvolňovací metodu v kombinaci s D'Alembertovým způsobem vyjádření setrvačných účinků. Unášivý pohyb koná těleso paralelogramu. Je to pohyb posuvný. Relativní pohyb bodu po paralelogramu je taktéž posuvný.

Složkové rovnice ve směru os a :

(1,2)
kde
je třecí síla mezi hmotným bodem a tělesem paralelogramu,
je D'Alembertova doplňková síla relativního pohybu,
je D'Alembertova doplňková síla unášivého pohybu.

V tomto případě jde pouze o složku normálovou (odstředivou). Složka tečná (na obr. 2 znázorněna čárkovaně) je nulová , protože , tedy .
je tíhová síla působící na hmotný bod,
je síla normálová.

1) Podmínka kontaktu mezi hmotným bodem a tělesem paralelogramu

Z rovnice (2) vyjádříme normálovou sílu .


Podmínka pro styk bodu a tělesa je nenulová normálová síla (v mezním případě může být i nulová). Je vidět, že síla nabývá minima tehdy, jestliže . Tzn., že úhel je pro možnost ztráty kontaktu s podložkou kritickým místem. Podmínka nepřetržitého styku bodu a tělesa tedy je:



Odtud můžeme vyjádřit:

(3)

Parametry a jsou konstanty. Vztah (3) je omezující podmínka pro velikost úhlové rychlosti, aby nedocházelo k nadskakování hmotného bodu.

   Animace pohybu paralelogramu - nadskakování hmotného bodu (alternativně zde)

2) Oblast relativního pohybu hmotného bodu

Předpokládejme ,že na počátku pohybu byla relativní rychlost bodu vzhledem k tělesu paralelogramu nulová . Budeme zkoumat, za jakých podmínek nedojde k posunu bodu po tělese.

K pohybu nedojde tehdy, bude-li velikost setrvačných sil působících na bod menší než velikost síly třecí jenž pohybu brání (v mezním případě může nastat rovnost). Rovnici (1) přepíšeme do tvaru:

(4)

Absolutní hodnota na levé straně znamená, že abstrahujeme od směru relativního pohybu. Zajímá nás pouze informace, zda bod vzhledem k tělesu paralelogramu stojí nebo ne. Je-li relativní rychlost nulová, a nemá-li se tento stav změnit, musí být relativní zrychlení a tím i D'Alembertova doplňková síla relativního pohybu . Proto rovnici (4) můžeme po dosazení za a užití (2) přepsat do tvaru:





a odtud
(5)


Podmínka (5) říká, že pokud úhel nabývá takové hodnoty, že absolutní hodnota jeho sinu je menší (maximálně rovna) než pravá strana rovnice, potom nedochází k relativnímu pohybu bodu po tělese paralelogramu. To je graficky vyjádřeno na obrázku. Bod se v oblasti nebo symetricky nepohybuje. Přesáhnou-li funkční hodnoty pravé strany (5) na celém intervalu mezní čárkovanou křivku, která má s křivkou levé strany pouze dva společné body, potom k pohybu bodu nedojde nikdy.

Obr. 3 Grafické znázornění podmínky (5)