Dáno:

Soustava je zatížená závažím prostřednictvím lanového systému. Poloměry kladek považujte za zanedbatelné.

Určit:

Určete síly v prutech 2 - 5.

---

Řešení: Výpočet stupňů volnosti :

v soustavě existuje šest rotačních vazeb. V místě A jsou spojeny kloubem pruty 2 a 3, prut 4 je připojen další rotační vazbou.

Na styčníky A, B působí síly z prutů (obr.2), v prutech předpokládáme tahová namáhání.

Obr. 2

Rovnice rovnováhy styčníku - hmotného bodu B:

(1)

(2)

Rovnice rovnováhy styčníku - hmotného bodu A:

(3)

(4)

Z rovnic (1), (2) určíme:

Ze soustavy rovnic (3) a (4) potom určíme

Poznámka 1:

Reakce lze řešit komplexně jako soustavu 4 rovnic pro 4 neznámé; příslušný zápis je :

Poznámka 2:

Pokud nezanedbáme poloměr kladky pro momentové účinky na kladku v místě A (podobně v místě B) platí podle obr.3

Složkové rovnice rovnováhy zůstávají nezměněny.

Obr. 3

obr. 1

Hmotný bod o hmotnosti je zavěšen na dvou lanech 1, 2 podle obrázku 1.

Dáno:





Určit:

---

Řešení: Provedeme uvolnění bodu a v lanech zavedeme síly (obr. 2).

obr. 2

Pro rovnováhu bodu platí rovnice rovnováhy ve vektorovém tvaru

(1)

Po rozepsání do pravoúhlých složek x, y

(2)

(3)

Dostáváme dvě rovnice (2), (3) pro dvě neznámé a výpočet provedeme např. Cramerovým pravidlem



Grafické zobrazení sil je na obr. 3.

obr. 3

Autor: Iva Petríková

obr. 1

Homogenní válec o hmotnosti je uložen podle obr 1. Určete sílu v laně a reakci od podložky .

Dáno:





Určit:

---

Řešení: Provedeme uvolnění válce a zavedeme reakci v laně a reakci od podložky (obr. 2a).

obr. 2

Protože obě reakce i tíhová síla procházejí jedním bodem - středem válce (obr. 2b), jedná se o rovnováhu bodu. Zapíšeme vektorovou rovnici

(1)

Po rozepsání do pravoúhlých složek x, y

(2)

(3)

Dostáváme dvě rovnice (2), (3) pro dvě neznámé a výpočet provedeme Cramerovým pravidlem

Dáno:

Těleso je uloženo a zatíženo břemeny . Kladky jsou součástí tělesa 2.

Určit:

Určete reakce v místech uložení tělesa 2.

Obr. 1

---

Řešení:

Počet stupňů volnosti (3 rotační vazby) :

Počet stupňů volnosti lze určit též následujícím způsobem: těleso 3 je prut – lze jej považovat za obecnou vazbu uložení tělesa 2. Pak pro platí:

Obr. 2

Těleso je zatíženo obecnou soustavou sil v rovině (tři rovnice rovnováhy) :

(1)

(2)

(3)

Z nich vypočteme :

Dáno:

Těleso je uloženo podle obr.1 a zatíženo spojitým obtížením.

Určit:

Určete reakce a vnitřní statické účinky v jednotlivých částech tělesa.

Obr. 1

Uložení A …. rotační vazba

Uložení B ….. obecná vazba

---

Řešení:

Výpočet stupňů volnosti :

Na těleso působí soustava rovnoběžných sil. Lze je popsat dvěma rovnicemi rovnováhy :

(1)

(2)

Odtud vypočteme :

.

Vnitřní statické účinky v jednotlivých částech tělesa :

Pro v intervalu platí podle obr.2

Obr. 2

Pro v intervalu platí podle obr.2

Obr. 3

Pro v intervalu platí podle obr.3

Obr. 4

Dvě síly ležící v rovině mají působiště v bodě A viz obr.1.

obr. 1

Dáno:



souřadnice bodu A:
souřadnice bodu B:
souřadnice bodu C:
souřadnice bodu D:

Určit:
a) momenty síly k bodům 0, B, C, D
b) momenty síly k bodům 0, B, C, D

---

Řešení:

obr. 2

a) Nalezneme příslušná ramena síly k bodům 0, B, C, D (obr. 2).


Moment síly k bodu 0:

(1)

Moment síly k bodu B:

(2)

Moment síly k bodu C:

(3)

Moment síly k bodu D:

(4)

b) Nalezneme příslušná ramena síly k bodům 0, B, C, D (obr. 2).

Moment síly k bodu 0:

(5)

Moment síly k bodu B:

(6)

Moment síly k bodu C:

(7)

Moment síly k bodu D:

(8)

Obr.1

Určete momenty sil k bodu A.

Dáno:









Určit:

---

Řešení:

Pro výpočet momentů sil použijeme Varignonovu větu. Rozložíme síly do složek x, y.

Moment síly je dán vektorovým součtem momentů složek síly k témuž bodu. Kladný smysl momentu uvažujte proti smyslu pohybu hodinových ručiček.

---

Zpracoval: Zozulák Petr

Užití vztahu ve 2D.

Síla působí na těleso. Určete moment k bodu 0 a vzdálenost bodu B od nosilky síly .
Obr.2 Dáno:



vzdálenosti viz obr.2

Určit: :

---

Řešení: Sílu a polohový vektor bodu A zapíšeme ve vektorovém tvaru


Pro určení vzdálenosti bodu B od nositelky síly použijeme vektorový součin

kde

Pro rameno síly k bodu B platí

z toho

---

Zpracoval: Zozulák Petr

Na těleso působí síly podle obrázku.

Dáno:











Nalezněte výslednici sil.

---

Výslednicí je moment . Síly působící v bodech A a C tvoří silovou dvojici. Velikost silové dvojice je dána vztahem

Podobně pro silové dvojice tvořené silami

Výsledný moment je:

---

Zpracoval: Zozulák Petr

Dáno:







Nahraďte sílu silou působící v bodě A a momentem.

---

Náčrtek:

---

Zpracoval: Zozulák Petr

obr.1

Dáno:





























U daného tělesa tvořeného soustavou prutů určete reakce v uložení v bodech je-li zatíženo silami a břemenem o hmotnosti


Určit:


Řešení:

1. Uvolnění tělesa

obr.2

2. Rovnice rovnováhy

(1)

(2)

(3)

3. Řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých

Z rovnice (3) určíme reakci

(4)

Z rovnice (2) získáme

(5)

Dosazením do rovnice (1) za dostáváme

takže

(6)

4. Numerické řešení

---

Zpracovala: Lucie Skálová

obr. 1

Dáno:







Určit:

---

Řešení:

1. Uvolnění

obr. 2

2. Rovnice

(1)

(2)

(3)

3. Vyjádření reakcí

Z rovnice určíme reakci

(4)

kde

Po dosazení do vyjde

(5)

a do

(6)

4. Výsledky

---

Zpracoval: Radek Zbončák

obr. 1

Dáno:








Určit:

---

Řešení:

1. Uvolnění

obr. 2

Spojitá zatížení nahradíme silami a ležícími v těžišti (obr. 2).

2. Rovnice rovnováhy

(1)

(2)

(3)

3. Vyjádření reakcí

Z rovnice vypočítáme

(4)

Z rovnice určíme

(5)

Dosazením do vyjde

(6)

4. Výsledky

---

Zpracoval: Radek Zbončák

Vyšetřete vnitřní silové účinky v řezu I - I.

obr. 1

Dáno:






Určit:

a)	reakce v podporách A a B
b)	vnitřní statické účinky.

---

Řešení:

a) Výpočet reakcí

1. Uvolnění

obr. 2

Spojité zatížení nahradíme silou

Jedná se o příčné zatížení nosníku

2. Rovnice rovnováhy

(1)

(2)

3. Výpočet reakcí

(3)

(4)

b) Výpočet posouvající síly a ohybového momentu v řezu , normálová síla

1. Uvolnění

obr. 3

2. Rovnice rovnováhy

Sestavíme rovnice rovnováhy pro oddělenou levou část tělesa.

(5)

(6)

3. Řešení a výsledky

---

Zpracoval: Radek Zbončák

Dáno: ()

Soustava tělesa A, B a prutů 3, 4 je uložena a zatížena podle obr.1

Určit:

Určete reakce soustavy na rám a síly v prutech 3, 4.

Obr. 1

---

Řešení:

Výpočet stupňů volnosti (4 rotační a 1 obecná vazba) :

Reakce působící na těleso a styčník C jsou zřejmé z obr.2:

Obr. 2

K dispozici máme tři rovnice rovnováhy tělesa 2 (obecná soustava sil v rovině) a dvě rovnice rovnováhy styčníku C (soustava sil procházející jedním bodem v rovině – hmotný bod) :

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Ze soustavy vypočteme :

..............................prut 4 - tah

..............................prut 3 - tlak

Poznámka:

Rovnice rovnováhy (1), (2) a (3) tělesa 2 lze nahradit rovnicemi rovnováhy celé soustavy:

(1*)

(2*)

(3*)

Dáno:

Je dána soustava těles uložená a zatížená podle obr.1.

Určit:

Určete reakce z rámu na danou soustavu a vzájemné reakce mezi tělesy

Obr. 1

---

Řešení: Určení stupňů volnosti :

V místech a jsou rotační vazby, v místě je vazba obecná.Oddělíme jednotlivá tělesa od sebe a zakreslíme reakce v uloženích, jak je zřejmé z obr.2.

Obr. 2

V tělese existuje rovnováha dvou sil (prut) a tedy .

Pro výpočet všech reakcí máme k dispozici tři rovnice rovnováhy tělesa a tři rovnice rovnováhy tělesa ( 6 rovnic rovnováhy pro 6 neznámých reakcí, což potvrzuje, že .

Rovnice rovnováhy tělesa :

(1)

(2)

(3)

Rovnice rovnováhy tělesa :

(4)

(5)

(6)

Odtud vypočteme :

Reakce jsou vnější reakce (z rámu na soustavu těles). Reakce jsou vnitřní reakce (reakce mezi tělesy navzájem).

Vnější i vnitřní reakce včetně sil a patří do skupiny vnějších sil působících na soustavu těles.

Poznámka :

Rovnice rovnováhy celé soustavy (obsahují pouze zatěžující síly a a vnější reakce) jsou:

(1*)

(2*)

(3*)

Těmito rovnicemi můžeme v soustavě rovnic (1) až (6) nahradit rovnice (1) až (3) nebo (4) až (6).

obr. 1

U soustavy těles tvořené dvěma tělesy 2,3 a kladkou uloženou v bodě C určete vnitřní silové účinky



Dáno:



Určit:

a)	Reakce v uložení
b)	vnitřní silové účinky v řezu .

---

Řešení:

a) Výpočet reakcí

Těleso 2

1. Uvolnění

obr. 2

2. Rovnice rovnováhy

(1)

(2)

(3)

Těleso 3

1. Uvolnění

obr. 3

2. Rovnice rovnováhy

(4)

(5)

(6)

3. Řešení

Dostáváme soustavu 6 rovnic o 6 neznámých:

Z rovnice vyjádříme





b) Vnitřní silové účinky

V řezu oddělené pravé části nahradíme zbývající část posouvající silou normálovou silou a ohybovým momentem

obr. 4

(7)

(8)

(9)

Silové účinky v řezu jsou

---

Zpracoval: Radek Zbončák

Rám (obr.1) je zatížen silami .

Dáno:

Určit:

---

Řešení:

obr.2

Protože těleso není zatíženo vnější silou a v kloubech a působí pouze reakce , jedná se o rovnováhu dvou sil a nositelka reakcí prochází body a .
Směr nositelky je dán úhlem .

1. Uvolnění

obr.3

2. Rovnice rovnováhy

(1)

(2)

(3)

Pozn.: x-ová složka prochází bodem rameno je nulové a složka má nulový moment k bodu

3. řešení soustavy rovnic (1), (2), (3)

Z rovnice (3) určíme

(4)

Výraz (4) dosadíme do rovnice (1) a (2) a dopočítáme a

(5)

(6)

---

Zpracovala: Lucie Skálová

Dáno:

Je dán šestičlenný mechanizmus podle obr.1.

Určit:

Zkontrolujte počet stupňů volnosti, určete velikost momentu M2, který uvede mechanizmus do rovnováhy, reakce z rámu na mechanizmus a reakce mezi jednotlivými členy navzájem. Řešení proveďte graficky.

Obr. 1

---

Řešení:

Výpočet stupňů volnosti: i = 3(n-1) - 2.r - 2.p = 3(6-1) - 2.5 - 2.2 = +1

Grafické řešení - postup :

Obr. 2

Obr.2: člen 6 - rovnováha 2 sil, společná nositelka reakcí mezi členy a 6-5 a 6-1 prochází kloubem A a je kolmá na posuvnou vazbu 5-6.

člen 5 - rovnováha 3 sil - nositelka síla a nositelka která prochází kloubem B a společným průsečíkem.

Obr. 3

Obr.3: člen 4 - rovnováha 2 sil - společná nositelka reakcí mezi členy 4-1 a 4-3 prochází kloubem C a je kolmá na vedení v K

člen 3 - rovnováha 3 sil, nositelky , a nositelka procházející kloubem D a společným průsečíkem

člen 2 - rovnováha momentu a silové dvojice tvořené reakcí mezi členy 3-2 v kloubu D a reakcí mezi členy 1-2 v kloubu E

Obr. 4

Velikost reakcí :

Obr.4: silový obrazec členu 5 (vychází ze známé síly ) a členu 3 (vychází ze známé reakce )

Obr. 5

Moment má opačný smysl než smysl dvojice zřejmý z obr.5. Velikost

Velikost p [mm] odměříme z obr.5, kde pro v [N] vyjde v [Nmm].

Reakce z rámu na mechanizmus jsou zřejmé z obr.5.

Naznačte (načrtněte) grafické řešení soustavy těles (klikového mechanismu) zatíženého danými silami a uváděného do rovnováhy silovou dvojicí na členu 2. Určete moment této dvojice

obr. 1

---

Řešení:

Řešíme superpozicí:




ad 1)

Začínáme od binárního členu , ten přenáší sílu ležící na spojnici středů kloubů . Na členu jsou v rovnováze 3 síly průsečíkem nositelek a síly prochází nositelka kolmo k posuvu. Na členu jsou v rovnováze 2 síly a silová dvojice Reakce tedy musí tvořit silovou dvojici.

obr. 2

obr. 3

ad 2)

Zde vycházíme z rovnováhy binárního členu ten přenáší sílu kolmou k posuvu a procházející bodem Na tělese jsou v rovnováze 3 síly tj. průsečíkem nositelky a síly prochází nositelka reakce z bodu Rovnováha na členu je dána stejnými podmínkami jako v kroku ad 1).

obr. 4

obr. 5

Výsledek:


Smysl výsledného momentu je proti ručičkám hodinovým.

Výsledné reakce: (Nutno sčítat síly se shodným indexem z obou superpozičních kroků.)

obr. 6

obr. 7

obr. 8

Poloha pomocí vláknového polygonu .

obr. 9

---

Zpracoval: Radek Zbončák

Obr. 1

Dáno: , , , , , ,

Při otáčení kladky o tíze způsobené břemenem vzniká čepové tření v kloubu A a tření lana, na němž je zavěšeno břemeno , po kladce ().

Určit: , , ,

Určete velikost závaží tak, aby břemeno rovnoměrně klesalo. Dále určete velikost reakce v uložení A.

---

Řešení:

Obr. 2

Rovnice rovnováhy kladky podle obr. 2:

(1)

(2)

(3)

Zbývající neznámé určíme ze vztahů pro pasivní odpory. Vztah pro moment čepového tření:

(4)

a Eulerův vztah:

(5)

V rovnici (4) byl použit zjednodušený vztah Ponceletův (pro ).

V rovnici (5) je zohledněn relativní pohyb mezi kladkou a lanem,

Ze soustavy vyjde:

Dáno: , , , , , , , , , , , ,

Je dána soustava těles podle obr. 1, která se pohybuje ve směru síly . Předpokládejte tření těles při pohybu po nakloněné rovině a tření lana na válcové ploše.

Určit:

Určete velikost síly tak, aby se soustava pohybovala konstantní rychlostí. Dále určete ostatní reakce.

Obr. 1

---

Řešení:

Obr. 2

Uvolníme tělesa 2 a 3 a získáme síly a reakce, které na ně působí.

Rovnice rovnováhy tělesa 2 jsou:

(1)

(2)

(3)

Rovnice rovnováhy tělesa 3 jsou:

(4)

(5)

(6)

Soustavu rovnic doplníme ještě vztahy:

(7)

(8)

(9)

Z rovnic (1) až (9) vypočteme , , , , , , , , .

obr. 1

Dáno:






Určit: P tak, aby se těleso pohybovalo rovnoměrným pohybem. Zanedbáme rozměry tělesa.

---

Řešení:

1. Uvolnění

obr. 2

2. Rovnice rovnováhy

Sestavíme rovnice rovnováhy pro bod

(1)

(2)

Připojíme vztah pro třecí sílu

(3)

3. Výpočet

Vztah pro T dosadíme do

(4)

Vyjádříme N z

(5)

a dosadíme do

(6)

Po úpravě výrazu

vyjde

---

Zpracoval: Radek Zbončák

Těleso o tíze G se pohybuje ve směru působení síly F stálou rychlostí.

obr. 1

Dáno:



Určit: Určete velikost síly F a výšku h, kde síla F působí, aby nedošlo k překlopení.

---

Řešení:

1. Uvolnění

obr. 2

2. Rovnice rovnováhy

Sestavíme rovnice rovnováhy a připojíme vztahy pro třecí síly

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

3. Výpočet

Z prvních dvou rovnic určíme sílu F za předpokladu, že v bodech A i B je koeficient smykového tření stejný.

(6)

(7)

Výšku , kdy ještě nedojde k překlopení, určíme z momentové rovnice

(8)

Pro okamžik překlopení je
Pak

---

Zpracoval: Radek Zbončák

Bedna je tažena konstantní rychlostí vzhůru po nakloněné rovině lanem přehozeným přes trám kruhového průřezu. Lano je navíjeno na buben poháněný ozubeným převodem. O bednu se opírá válec podle obr. 1. Určete velikost hnacího momentu na kole 5. Respektujte vliv pasivních odporů.

Dáno:

obr. 1

---

Řešení:

Uvolnění jednotlivých těles:

Těleso 2:

obr. 2

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Těleso 3:

obr. 3

(6)

(7)

(8)

Statická podmínka valení


Lano na trámu:

obr. 4

(9)

Těleso 4:

obr. 5

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

nebo


Těleso 5:

obr. 6

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

Neznámé:

Rovnic:
Neznámých:

---

Zpracoval: Radek Zbončák

Těleso vedené v souměrné klínové drážce je spouštěno po nakloněné rovině. Lano se odvíjí z bubnu špalíkové brzdy podle nákresu. Určete nastavení závaží na páce brzdy pro pohyb břemene konstantní rychlosti. Uvažujte vliv pasivních odporů. Napište potřebné rovnice.

Dáno:

obr. 1-1

obr. 1-2

---

Řešení:

Těleso 2:

obr. 2

(1)

(2)

(3)

(4),(5)

(6),(7)

nebo


Těleso 3:

obr. 3

(8)

(9)

(10)

(11)

Levá páka:

obr. 4

(12)

(13)

(14)

(15)

Pravá páka:

obr. 5

(16)

(17)

(18)

Páka se závažím:

obr. 6

(19)

(20)

(21)

Spojovací táhlo:

obr. 7

(22)

Neznámé:

Rovnic:
Neznámých:

---

Zpracoval: Radek Zbončák

Soustava těles se pohybuje konstantní rychlostí tlačená silou na těleso 3, které je podepřeno rotačním válcem 4 a kolem 2 otočně uloženým v bodě , viz. obr. 1.

Dáno:

Určit: - napište soustavu rovnic k výpočtu této síly.

obr. 1

---

Řešení:

Uvolnění jednotlivých těles:

Těleso 2:

obr. 2

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Dále statická podmínka valení:


Těleso 4:

obr. 3

(6)

(7)

(8)

Těleso 3:

obr. 4

(9)

(10)

(11)

Neznámé:

Rovnic:
Neznámých:

---

Zpracoval: Radek Zbončák

Dáno: ,,,,

Kruhová deska je uložena a zatížena podle obr.1. Podpory v místech A, B,C jsou provedeny tak, že reakce jsou rovnoběžné se silou (případně s osou z souřadného systému).

Určit:

Určete reakce v podporách A,B,C desky zatížené silou .

Obr. 1

---

Řešení: Pro soustavu rovnoběžných sil v prostoru lze napsat jednu složkovou rovnici rovnováhy do směru osy a dvě momentové rovnice k osám .Z těchto tří rovnic vypočteme reakce z čehož vyplývá, že i=0 (počet neznámých reakcí a počet rovnic rovnováhy se shodují). Deska je uložena staticky určitě.

Rovnice rovnováhy :

(1)

(2)

(3)

Ze soustavy vyjde:

Poznámka:

Pokud platí, že jsou větší než nula, je poloha desky stabilní. Pokud by některá z reakcí vyšla záporná, je třeba buď změnit polohu působiště síly či polohu podpor, nebo realizovat příslušné uložení tak, aby bylo schopno přenášet reakci v obou směrech (nikoli pouze jako jednostrannou podporu).

Dáno:

Těleso je uloženo na šesti prutech a zatíženo soustavou sil a momentu podle obr.1.

leží v rovině

leží v rovině rovnoběžné s rovinou

leží v rovině

Určit:

Určete síly v prutech (reakce), na nichž je těleso A, B, C, D uloženo.

---

Řešení:

Obr. 1

Pro těleso je možno napsat šest rovnic rovnováhy (např. 3 složkové a 3 momentové k osám ) podle obr.2:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Obr. 2

Nulový moment k ose mají síly, které ji protínají a síla (protíná osu v nekonečnu)

Nulový moment k ose mají síla a složka do osy (protínají osu ), síly a složky do osy (jsou rovnoběžné s osou )

Nulový moment k ose mají síly a složka do osy (protínají osu ) a složka síly do směru osy (je s osou rovnoběžná).

Z rovnic (1) až (6) určíme:

Veškeré síly v prutech byly zavedeny jako tahové.

V prutech a nastává tah, v prutech a tlak, v prutech a bude výsledné znaménko reakce podle konkrétních velikostí a

Dáno:

Zalomená tyč je uložena a zatížena podle obr.1.

Určit: vnitřní účinky

Určete reakce v uložení a vnitřní statické účinky v jednotlivých částech zalomené tyče.

Obr. 1

---

Řešení:

Reakce v místě uložení určíme ze šesti rovnic rovnováhy zalomené tyče:

Vnitřní statické účinky v části tyče jsou podle obr.2:

Obr. 2

Moment leží v rovině rovnoběžné s rovinou a namáhá část BC na ohyb.

Vnitřní statické účinky části tyče jsou zřejmé z obr.3:

Obr. 3

Moment leží v rovině a namáhá část na ohyb v této rovině. leží v rovině rovnoběžné s rovinou (v rovině průřezu tyče) a namáhá část tyče na krut.

Určete souřadnice těžiště , štíhlé tyče zobrazené na následujícím obrázku.

Dáno:

---

Autor: Iva Petríková, Zpracoval: Radek Zbončák

Určete souřadnice těžiště , štíhlé tyče zobrazené na následujícím obrázku.

Dáno:

---

Autor: Iva Petríková, Zpracoval: Radek Zbončák

Určete souřadnice těžiště , , štíhlé tyče zobrazené na následujícím obrázku.

Dáno:

---

Autor: Iva Petríková, Zpracoval: Radek Zbončák

Určete souřadnice těžiště , .

Dáno:

---

Řešení:

Plocha, u které máme určit těžiště, má osu souměrnosti rovnoběžnou s osou y ve vzdálenosti 2a. Z toho vyplývá, že

Zbývá určit souřadnici těžiště. Plochu rozdělíme na několik dílčích ploch, jejichž těžiště známe.

Souřadnice těžiště je dána vztahem

(1)

kde jsou jednotlivé plochy , , , vyznačené na obrázku. je statický moment plochy k ose x.
Celková plocha

Statický moment je

Statický moment útvaru, který v ploše chybí, odečítáme.
Po úpravě dostáváme

Dosazením do vztahu (1) dostáváme souřadnici těžiště

---

Zpracoval: Radek Zbončák

Určete souřadnice těžiště , .

Dáno:

---

Autor: Iva Petríková, Zpracoval: Radek Zbončák

Určete souřadnice těžiště , .

Dáno:

---

Autor: Iva Petríková, Zpracoval: Radek Zbončák

Těleso je vyrobeno z oceli a hliníku. Najděte souřadnice jeho těžiště. (Materiály jsou barevně odlišeny.)

Dáno:

---

Zpracoval: Radek Zbončák

Těleso je tvořeno válcem s kuželovou dírou vyrobeným z mědi a hliníkovou polokoulí. Najděte souřadnice jeho těžiště.

Dáno:

---

Autor: Iva Petríková, Zpracoval: Radek Zbončák

obr. 1

Dáno:



Určit:

(integrací)

---

Řešení:

obr. 2

V trojúhelníku zvolíme elementární plochu dS (obr. 2).


kde souřadnici vypočteme z podobnosti



Výpočet souřadnice těžiště je dán vztahem


Po dosazení za dS a úpravě


Výpočet souřadnice těžiště provedeme analogicky


Po dosazení za dS a úpravě

---

Autor: Iva Petríková, Zpracoval: Radek Zbončák

obr. 1

Dáno:



Určit:

---

Řešení:

Vztahy pro výpočet souřadnic těžiště jsou



Po dosazení pro náš příklad dostaneme

---

Autor: Iva Petríková, Zpracoval: Radek Zbončák

obr. 1

Dáno:



Určit:

---

Řešení:

Útvar rozdělíme na tři dílčí útvary, jejichž těžiště známe.
Útvar č. 1 je tvořen obvodem čtverce v rovině xy a těžiště T₁ má souřadnice
Útvar č. 2 je tvoří jedna čtvrtina kružnice a T₂ má souřadnice
Útvar č. 3 je dán úsečkou a T₃ má souřadnice

Obecné vzorce jsou




V našem případě




Výsledky:

---

Autor: Iva Petríková, Zpracoval: Radek Zbončák

Určete těžiště válce s připojeným kuželem a chybějící polokoulí podle obrázku.

Dáno:







Určit:

a)	určete homogenního útvaru,
b)	určete tělesa, uvažujeme-li s ocelovým válcem a hlinikovým kuželem.

---

Řešení:

a) Osa z je osa rotační osová symetrie


b)

---

Zpracoval: Radek Zbončák

Zadání:

Určit mechanickou práci síly vykonanou při úplném vynoření rotačního válce z kapaliny jejíž hladina sahá do výšky válcové nádoby (podstava o poloměru ).

Dáno:

---

Řešení:

Těleso je nadlehčováno vztlakovou silou Při vynořování poklesne hladina kapaliny v nádobě.

Platí

(1)

dále

(2)

Z rovnice vyjádříme


pak


Rovnice rovnováhy:

(3)

Práce síly


Poznámka: pro konstantní výšku hladiny (v nádobě, kde ) je

---

Zpracoval: Radek Zbončák

Rotační kužel výšky , poloměru podstavy je ponořen ve válcové nádobě (poloměr podstavy ), jeho špička se dotýká hladiny. Určete práci síly potřebnou k vynoření kužele tak, aby se jeho podstava dotýkala hladiny.

Dáno:

---

Řešení:

V obecné poloze kužele platí rovnice rovnováhy

(1)

kde

(2)

je tíhová síla kužele,

(3)

je síla vztlaková, míra z je vzdálenost špičky kužele od nové hladiny, poloměr řezu kužele v této vzdálenosti.

Z podobnosti trojúhelníků (obr. 2) platí

(4)

Při vynořování kužele klesá hladina kapaliny v nádobě - vynořená špička kužele o výšce vzhledem k původní výšce uvolnila objem v nádobě (rovnost vyšrafovaných objemů); platí

(5)

odtud vyjde po úpravě


do toho vztahu dosadíme z rovnice

(6)

Vrátíme se k vztlakové síle , kde po dosazení bude


Hledaná mechanická práce je

(7)

Nyní zderivujeme rovnici


a odtud


a tento výraz dosadíme do


Došlo ke změně horní meze integrálu, protože jsme integrovali podle z.

Poznámka:
Pro případ konstantní výšky , t.j. (jezero, moře), vyjde

---

Zpracoval: Radek Zbončák

Hmotný rotační válec je sevřen mezi vodorovnou podložkou a otočně uloženým trámcem podle obr. 1. Ve středu válce působí vodorovná síla Určete práci této síly k přemístění válce mezi jeho krajními polohami. Uvažujte vliv pasivních odporů. Předpokládejte pomalý pohyb válce (t.j. konstantní rychlostí).

obr. 1

Dáno:

---

Řešení:

Uvolníme jednotlivá tělesa; předpokládáme valení válce po vodorovné podložce; mezi válcem a trámcem předpokládáme smýkání.

Válec

obr. 2

(1)

(2)

(3)

(4)

Statická podmínka valení:

Trámec

obr. 3

(5)

(6)

(7)

neznámé: - 7, odpovídá počtu rovnic.

Odtud vypočítáme t.j.


Výpočet mechanické práce:


kde

Pak


Poznámka:
Uvažte případ, kdy se válec bude pouze smýkat, ale neotáčet ().
Další možnost bude válec odvalující se po stykové ploše s trámcem a přitom se smýkající po vodorovné podložce, (zde , nahoře ve styku s trámcem ).

V prvním případě vyjde


ve druhém

---

Zpracoval: Radek Zbončák

Hmotná homogenní koule je ponořená těsně pod hladinou rybníka. Určete práci potřebnou k jejímu vytažení těsně nad hladinu.

Dáno: (konstantní výška hladiny)

obr. 1

---

Řešení:

Obecnou polohu tělesa při vynořování označme mírou Při pomalém vynořování platí rovnice rovnováhy sil, které působí na těleso ve svislém směru:


kde tíhová síla tělesa


je vztlaková síla. Mechanická práce síly F je:


Objem úseče

obr. 2

pak

---

Zpracoval: Radek Zbončák

Hmotná homogenní koule je ponořená těsně pod hladinou rybníka. Určete práci potřebnou k jejímu vytažení těsně nad hladinu.

Dáno: (konstantní výška hladiny)

obr. 1

---

Řešení:

Obecnou polohu tělesa při vynořování označme mírou zaveďme pomocnou proměnnou platí



Při pomalém vynořování platí rovnice rovnováhy sil, které působí na těleso ve svislém směru:


kde tíhová síla tělesa


je vztlaková síla. Mechanická práce síly F je:


Určíme nejprve vztlakovou sílu:


Pak práce


Nejprve vypočteme integrál v závorce:




pokračujeme:

---

Zpracoval: Radek Zbončák

Doporučená literatura je označena *.

* Jáč, V., Polcar, M. Mechanika I. Statika. Skriptum TUL. 3. vyd. Liberec: Vysoká škola strojní a textilní v Liberci, 1985.

Juliš, K., Brepta, R. a kol. Mechanika I. díl. Statika a kinematika. 1. vyd. Praha: SNTL, 1986. ISBN 04-224-86

Stavební mechanika I. [online]. Dostupné na World Wide Web: http://www.stm.fce.vutbr.cz/page052.htm.

* Stejskal, V., Březina, J., Knězů, J. Mechanika I. Řešené příklady. Skriptum ČVUT. Dotisk 1. vyd. Praha: Vydavatelství ČVUT, 1999. ISBN 80-01-01694-3

Šrejtr, J. Technická mechanika I. Statika. Vyd. 2., přepracované. Praha: SNTL,1957.