Navigace

Hlavní nabídka
Obsah


Seskok parašutisty v odporujícím prostředí

Z letadla letícího ve výšce seskočí parašutista.

  1. V intervalu letí parašutista rychlostí volným pádem, kde na něj působí odpor vzduchu. Součinitel odporu vzduchu je .
  2. Ve výšce otevře padák, čímž velmi zvětší odpor vzduchu na . Parašutista letí rychlostí .

Dáno: , , , , , .

Určit: Určit máme průběh rychlosti parašutisty v závislosti na dráze v obou intervalech, tj. a , dále velikost rychlosti, při které se otevře padák , a jakou rychlostí dopadne parašutista na zem.

Poznámka: Při výpočtu neuvažujeme rychlost letadla a odpor prostředí předpokládáme závislý na druhé mocnině rychlosti.

Řešení:

Zrychlení parašutisty v odporujícím prostředí (s padákem nebo bez) probíhá podle obecného předpisu

Zrychlení můžeme napsat jako

Sestavíme diferenciální rovnici

Tuto rovnici vyřešíme metodou separace proměnných
a dále aplikací určitých integrálů
kde jako dolní mez integrálu je obecně dráha při započetí děje s počáteční rychlostí . Po rozšíření pravé strany zlomkem a malé úpravě lze použít pravidlo o integrování zlomku, kdy v čitateli je derivace jmenovatele. Potom je integrálem tohoto zlomku logaritmus jmenovatele.
Po integraci dostaneme
Nyní máme funkci
z ní určíme funkci inverzní
a obdržíme řešení v obecném tvaru

Řešení pro konkrétní případ

1.fáze - volný pád parašutisty bez padáku

  • součinitel odporu vzduchu je např.
  • délka volného pádu
  • počáteční rychlost seskoku
  • počáteční poloha děje

vztah se v tomto případě zjednoduší na

Graf rychlosti

2.fáze - pád s otevřeným padákem

  • součinitel odporu vzduchu při otevřeném padáku je např.
  • počáteční poloha děje
  • počáteční rychlost děje

Graf rychlosti

Průběh rychlosti parašutisty v celém intervalu

Graf rychlosti ,

Soubory ke stažení

Výpočový program v MathCadu:

para.mcd - MathCad v.2000

para6.mcd - MathCad v.6