E-learning

Teplotní napětí v tyčích namáhaných na tah nebo tlak

Příklad 1.

Ocelová kolejnice nekonečné délky se ochladí z počáteční teploty

, při které byla bez napětí, o teplotu

. Jaké napětí vznikne v kolejnici, je-li

Řešení: Kolejnici můžeme považovat za ideálně vetknutou tyč. Při ochlazení v ní vznikne tahové napětí, které eliminuje teplotní deformaci .

zpracoval:Miroslav Denk

Příklad 2.

Tyč sestavená ze dvou materiálů podle obr. 1 o teplotní roztažnosti: , je oboustranně vetknutá. Vypočtěte napětí v jejích jednotlivých částech, je-li , , , , ohřeje-li se celá o .

Obr. 1

Řešení: Deformační podmínka pro výpočet síly je:

tedy

Odtud tlaková síla v tyči má velikost:

Napětí v části je:

Napětí v části a je:

zpracoval:Miroslav Denk

Příklad 3.

Tyč ve tvaru konického kužele podle obr. 1 je vetknutá a zatížená změnou teploty . Vypočtěte napětí v tyči. Dáno: , , , , .

Obr. 1

Řešení: Kdyby tyč byla volná, prodloužila by se vlivem teploty o . V tyči vznikne tlakové napětí, které eliminuje toto prodloužení. Předpokládejme, že ve vetknutí vznikne reakce , pak v místě vzdáleném o od levého vetknutí bude napětí

kde průřez

Deformace v místě bude a zkrácení elementu bude . Zkrácení tyče vlivem napětí musí být stejné, jako její prodloužení vlivem teploty.

Z této rovnice vypočteme velikost tlakové síly a maximální napětí na levém konci tyče .

zpracoval:Miroslav Denk

Příklad 4.

Mějme vetknutou tyč konstantního průřezu podle obr. 1, změna teploty bude nyní funkcí souřadnice .

Obr. 1

Volné teplotní prodloužení elementu v místě bude

celkové volné prodloužení tyče vlivem teploty pak je

Ve vetknutích vznikne tlaková síla F, která by zkrátila tyč o

Prodloužení tyče od teploty a zkrácení vlivem reakce musí být stejné, sílu vypočteme z této podmínky

zpracoval:Miroslav Denk

Příklad 5.

Ocelová tyč a měděná trubka stejné délky jsou spojeny tuhými čely podle obr. 1. Jaké napětí vznikne v jednotlivých částech, ohřejeme-li soustavu o teplotu ?

Obr. 1

Řešení: Teplotní roztažnost mědi je větší než teplotní roztažnost oceli (, ). Prodloužení obou částí však musí být stejné. V trubce vznikne tlakové a v tyči tahové napětí. Deformační podmínka je

Výsledné síly, kterými trubka a tyč působí na tuhá čela musí být stejně velké, ale opačného smyslu

zpracoval:Miroslav Denk

Z této podmínky rovnováhy a deformační podmínky, můžeme vypočítat napětí a .

Příklad 6.

Dvě stejné tyče jsou spojeny tuhým členem podle obr. 1 a každá je celá ohřáta o jinou teplotu (, ). Jaké napětí vznikne v tyčích, jestliže tuhé čelo se nemůže natočit?

Obr. 1

Řešení: Po ohřátí tyčí bude čelo v pozici rovnoběžné s původní pozicí a posune se ve směru dolů o vzdálenost , která je rovna prodloužení tyčí. Na tyče působí osové síly , jejichž moment je v rovnováze s momentem sil , které vznikají ve vedení. Z podmínky stejné délky tyčí po ohřátí

vypočteme sílu

zpracoval:Miroslav Denk

Příklad 7.

Všechny pruty soustavy podle obr. 1 jsou ze stejného materiálu a mají stejný průřez. Jaké bude v jednotlivých prutech napětí, ohřeje-li se

a) celá soustava o

b) ohřeje-li se pouze prut 2 o

Obr. 1

Soustava je symetrická a 1-krát staticky neurčitá, tedy

Rovnice rovnováhy styčníku A je

Po deformaci styčník A zůstane na ose symetrie a deformační podmínka má tvar

a) prodloužení prutů jsou

Z deformační podmínky

a z rovnice rovnováhy vyjde

resp. ,

b) Soustava je stále symetrická, prodloužení prutů jsou

Z deformační podmínky

a z rovnice rovnováhy vyjde

resp. ,

zpracoval:Miroslav Denk

Přibližný výpočet teplotních napětí v nosnících

Příklad 1.

Tyč obdélníkového průřezu podle obr. 1 je zatížena přírůstkem teploty, který má lineární průběh v závislosti na souřadnici z: . Dáno: Určete napětí v tyči a deformaci tyče.

Obr. 1

Řešení:

V tyči nevznikne napětí (přírůstek teploty je lineární funkcí souřadnice ).

Diferenciální rovnice průhybové čáry

Průhybová čára je kružnice s poloměrem . Tyč se neprodlouží, neboť střední posuv průřezu je nulový:

zpracoval:Miroslav Denk

Příklad 2.

Tyč z příkladu 1. je zatížena přírůstkem teploty, který má parabolický průběh (obr. 1) v závislosti na souřadnici , určete napětí v tyči a její deformaci.

Obr. 1

Řešení:

Napětí má parabolický průběh (obr. 2). Tyč se neprohne, protože

Obr. 2

Osový posuv v místě

střední osový posuv

a celkové prodloužení tyče

zpracoval:Miroslav Denk

Příklad 3.

Tyč z příkladu 1. je zatížena přírůstkem teploty s parabolickým průběhem podle obr. 1. Určete napětí v tyči a její průhyb.

Obr. 1

Řešení:

Průhyb nosníku je dán diferenciální rovnicí

a po dosazení

Průhybová čára tedy bude kružnice o poloměru

zpracoval:Miroslav Denk

Příklad 4.

Tyč z příkladu 1. je vetknutá na obou koncích podle obr. 1 a zatížena přírůstkem teploty

Jaké napětí vznikne v tyči a jaká bude její deformace?

Obr. 1

Řešení: Tyč se neprohne, neboť z vetknutí se na ni budou přenášet ohybové momenty Napětí, které vznikne v tyči má lineární průběh

zpracoval:Miroslav Denk

Příklad 5.

Tyč z příkladu 1. je vetknutá na levém konci a na pravém konci prostě podepřena. Průběh přírůstku teploty je lineární funkcí souřadnice . Určete napětí a deformaci tyče.

Obr. 1

Řešení: Stále pro průběh teploty platí

V podpoře vznikne reakce , která bude bránit průhybu nosníku směrem vzhůru. Moment v obecném řezu je

diferenciální rovnice má tvar

a řešení

Velikost reakce a konstant a určíme z okrajových podmínek pro deformaci nosníku

Odtud

Napětí v nosníku získáme superpozicí napětí v nosníku vetknutém na levém konci a zatíženém ohřevem (napětí nevzniká) a nosníku vetknutém na levém konci a na pravém konci zatíženém silou .

Maximální napětí je ve vetknutí

zpracoval:Miroslav Denk

Příklad 6.

Nosník na třech podporách obdélníkového průřezu podle obr. 1 je zatížen přírůstkem teploty Určete napětí a deformaci nosníku.

Obr. 1

Řešení: Pokud je nosník uložen na dvou podporách A a C, napětí v něm nevznikne a vlivem přírůstku teploty se prohne do kružnice. Poloměr kružnice

kde

tedy

Průhyb způsobený změnou teploty vypočteme pomocí obr. 2

Protože platí, že , lze napsat

Obr. 2

Pro nosník zatížený silou rovnou reakci uprostřed je průhyb (obr. 3)

Obr. 3

Z podmínky vyjde

Maximální napětí je uprostřed nosníku:

Průhyb bude stejný jako u nosníku v příkladu 5. Reakce je dvojnásobkem reakce z příkladu 5.

zpracoval:Miroslav Denk

Příklad 7.

Mějme kompozitní nosník - tzv. bimetal - složený ze dvou částí z různých materiálů podle obr. 1. Určeme napětí a deformaci, ohřeje-li se celý nosník o teplotu . Předpokládejme stejný průřez obou částí, moduly pružnosti a součinitele teplotní roztažnosti

Obr. 1

Řešení: Po zahřátí se nosník prohne, průhybová čára bude kružnice. Předpokládejme, že zakřivení společné plochy bude , dále předpokládejme, že vlivem ohřátí se společná plocha roztáhne v osovém směru o

Ve vzdálenosti z od této plochy bude osové prodloužení rovno (obr. 2)

Obr. 2

Osové prodloužení v jednotlivých částech nosníku bude

dosadíme-li do levé strany těchto rovnic za máme pro napětí vztahy

Z podmínky rovnováhy sil v průřezu vyjde:

Z podmínky rovnováhy momentů vyjde

Do rovnic dosadíme vztahy pro napětí.

Z těchto rovnic vyjádříme prodloužení a zakřivení společné plochy a po dosazení do vztahů pro napětí získáme napětí v každé části bimetalu.

Průhyb bimetalu závisí slabě na poměru , avšak je silně ovlivněn rozdílem teplotních roztažností . Položíme-li přibližně , pak dostáváme

a napětí budou

zpracoval:Miroslav Denk

Užití Castiglianovy věty pro výpočet teplotních napětí

Příklad 1.

Prutová soustava tvořená třemi pruty (obr. 1) je ze stejného materiálu () a stejného průřezu . Určete jaká napětí vzniknou v prutech po zahřátí prutové soustavy o teplotu . Soustava je opět symetrická. Výpočet pomocí deformační podmínky je uveden v kapitole Teplotní napětí v tyčích namáhaných na tah nebo tlak. , příklad 7.

Obr. 1

Doplňková deformační energie soustavy

Podmínka rovnováhy je

Zvolme za staticky neurčitou sílu, pak platí

určíme z podmínky rovnováhy

Po dosazení dostaneme rovnici

ze které a z podmínky rovnováhy určíme

zpracoval:Miroslav Denk

Příklad 2.

Jaká napětí vzniknou v prutech soustavy (obr. 1), ohřeje-li se pouze prut 1. Soustava prutů již není symetrická a sestavení deformační podmínky by bylo pracné. Doplňková deformační energie soustavy je

Obr. 1

kde stále platí rovnice rovnováhy a tedy . Zvolme za staticky neurčitou veličinu, pak platí:

Odtud

zpracoval:Miroslav Denk

Příklad 3.

Nosník na třech podporách podle obr. 1 je ohřát o přírůstek teploty. (viz. příkladu 6.)

Obr. 1

Řešení: Ve střední podpoře vznikne reakce, která vyvolá ohybový moment

Napětí v nosníku

Doplňková deformační energie

Platí

kde

Odtud

zpracoval:Miroslav Denk

Příklad 4.

Příklad 5. z kapitoly (obr. 1) Přibližný výpočet teplotních napětí v nosnících lze řešit i pomocí Castiglianovy věty. Pro staticky neurčitou reakci platí

Obr. 1

Odtud

zpracoval:Miroslav Denk

Příklad 5.

Tenká obruč je bez napětí vložena mezi dvě tuhé opory v bodech A a B podle obr. 1. Určete reakce v podporách po ohřátí celé obruče o teplotu . Dáno: . Řešení je možné jen pomocí energetické metody. Příklad je 2-krát staticky neurčitý.

Obr. 1

Řešení:

1) V tomto případě použijeme vztah pro energii napjatosti U a deformační podmínku. Uvolníme-li obruč a zahřejeme-li jí o teplotu , změní se vzdálenosti o přírůstek . V podporách tedy musí vzniknout síly , které by průměr obruče stlačily o tuto vzdálenost.

Deformační podmínka je

kde je deformační energie.

Z podmínky rovnováhy podle obr. 2 vyjde

Obr. 2

je staticky neurčitý vnitřní moment, proto platí

Energie napjatosti je

kde

2) Řešení pomocí doplňkové deformační energie . V tomto případě použijeme 2-krát větu o minimu deformační práce a bude platit

Doplňkovou energii vypočteme z hustoty deformační energie

kde

Do normálného napětí musíme zahrnout i vliv normálné síly v průřezu obruče (obr. 3).

Obr. 3

Parciální derivace jsou

Dostaneme soustavu dvou rovnic

Z první rovnice opět vyjde

zpracoval:Miroslav Denk

Kruhové desky namáhané na ohyb

Příklad 1.

Volná tenká mezikruhová deska podle obr. 1 je zatížena přírůstkem teploty, který je lineární funkcí vzdálenosti od střední roviny . Určete napětí a deformaci desky. Dáno: a přírůstek teploty je .

Obr. 1

Řešení:

Příčná síla v desce nevzniká:

Teplotní moment

Radiální a tečný moment v desce jsou

Radiální moment na okrajích desky je roven nule, tedy . Odtud vypočteme konstanty

Křivosti desky po deformaci jsou

Průhyb

kde z okrajové podmínky vypočteme

Průhyb desky na poloměru pak bude

Deska je bez napětí, pouze se prohne. Natočení desky na poloměru bude:

zpracoval:Miroslav Denk

Příklad 2.

Deska z příkladu 1. je vetknutá na vnějším i vnitřním okraji (obr. 1). Jaká vzniknou v desce napětí? Průběh teploty je opět

Obr. 1

Řešení: Vzhledem k tomu, že nezávisí na poloměru, deska se neprohne. Tečné a radiální momenty budou stejné a konstantní

zpracoval:Miroslav Denk

Příklad 3.

Deska z příkladu 1. je vetknutá na vnitřním okraji a na vnějším okraji je volná (obr. 1). Jaká vzniknou v desce napětí?

Obr. 1

Řešení: Na desku bude působit z vetknutí na vnitřním okraji radiální moment . Musí být tak velký, aby sám o sobě způsobil na poloměru a stejné natočení, jako vzniká v důsledku teplotního zatížení u volné desky - tedy (podle příkladu 1.)

Pro a při zatížení momentem platí

kde

Okrajové podmínky jsou

Po dosazení do okrajových podmínek dostaneme konstanty

Sklon tečné roviny je

a na vnitřním okraji platí

Ze srovnání obou natočení v místě vetknutí

získáme velikost

Radiální a tečný moment jsou

zpracoval:Miroslav Denk

Příklad 4.

Deska z příkladu 1. je prostě podepřená na obou okrajích (obr. 1). Jaké vznikne napětí v desce?

Obr. 1

Řešení: Kdyby byla deska podepřená pouze na vnějším okraji, pak po teplotním zatížení bude bez napětí a průhyb na jejím vnitřním okraji bude podle příkladu 1.

Je-li deska podepřena na obou okrajích, musí vnitřní podpora působit na desku celkovou silou , která by sama prohnula desku na vnitřním okraji o

Příčná síla v desce

Pravá strana diferenciální rovnice je

Vztah pro sklon tečné roviny je

Konstanty určíme z okrajových podmínek

Po dosazení

Průhyb desky

Konstantu určíme z podmínky - průhyb na vnějším okraji je roven a odtud

Po dosazení do vztahu pro průhyb můžeme vypočítat průhyb na vnitřním okraji. Z podmínky dostaneme sílu (reakci v podpoře). Po dosazení do vztahů pro momenty dostaneme napětí v desce.

zpracoval:Miroslav Denk

Kotouče a dlouhé válce

Příklad 1.

Tenký ocelový kotouč podle obr. 1 je při počáteční teplotě bez napětí. Vnějšímu okraji kotouče je zabráněno v roztažení. Jaké napětí vznikne v kotouči, ohřeje-li se celý zvolna o teplotu ?

Dáno:

Obr. 1

Řešení:Kdyby byl kotouč volný, pak při ohřátí o teplotu by se každý jeho poloměr zvětšil o , tedy poloměr by se zvětšil o . Tomuto rozšíření brání okolí kotouče, mezi kotoučem a okolím vznikne tlak . Jeho velikost určíme z deformační podmínky .

Obr. 2

Konstanta

Napětí na vnějším okraji kotouče jsou (obr. 2)

Odpovídající deformace je

Z deformační podmínky

vypočteme

Nejméně příznivá napjatost je jednoosá napjatost na poloměru . Napětí je rovno

zpracoval:Miroslav Denk

Příklad 2.

Tenký kotouč podle obr. 1 byl při teplotě bez napětí. Jeho čelní plochy jsou teplotně izolovány, ale nic nebrání v jejich volné dilataci. Tento kotouč byl zvolna zahřát tak, že vznikne ustálený tepelný stav, kdy na vnitřním okraji kotouče je teplota a na vnějším okraji kotouče je teplota . Jaké je napětí v kotouči?

Dáno:

Obr. 1

Řešení: V kotouči vzniká ustálené teplotní pole, které je osově symetrické, teplota se po tloušťce kotouče nemění. Jedná se o rovinnou napjatost - nevznikne osové napětí. Rovnice vedení tepla má v tomto případě tvar

Za vztažný poloměr zvolíme vnější poloměr kotouče . Řešení této rovnice je funkcí teploty

kde integrační konstanty a určíme z okrajových podmínek pro vnitřní a vnější poloměr, tedy

Odtud

Diferenciální rovnice pro radiální posuv v případě rovinné napjatosti:

Z homogenního řešení dostáváme známé vztahy pro napětí v rotačně symetrických tenkých kotoučích

kde integrační konstanty a určujeme z podmínek na okraji kotouče.

Diferenciální rovnici pro radiální posuv vynásobíme a dosadíme za funkci . Na pravé straně dostáváme: . Označme . Partikulární řešení bude v tomto případě

a napětí z tohoto řešení odvozená jsou

Sečtěme homogenní řešení a partikulární řešení a přidáme teplotní člen Dostaneme napětí

Integrační konstanty a určíme z podmínek pro volné okraje:

Po dosazení

Rovnice můžeme dále upravovat a konstanty A a B vyjádřit obecně pro tento typ zatížení a okrajových podmínek. Rozumnější bude v této fázi konstanty, které mají rozměr napětí, vypočítat numericky. Vyjde . Průběh radiálního a tečného napětí je na obr. 2. V tomto případě rovinné napjatosti nastane deformace v axiálním směru. Tloušťka kotouče se bude zvětšovat všude a nerovnoměrně v závislosti na poloměru.

Obr. 2

Kdybychom zabránili volné změně tloušťky kotouče, vzniklo by v kotouči osové napětí Předpokládejme, že změně tloušťky je zcela zabráněno vnější vazbou, pak a jedná se o tzv. rovinnou deformaci. Určíme napětí v tomto případě. Pro poměrné deformace máme nyní vztahy

Z poslední rovnice získáme

Na pravé straně diferenciální rovnice pro radiální posuv je v případu rovinné deformace výraz

Zde obdobně zavedeme

Z homogenního řešení rovnice máme opět

(konstanty a mají jinou hodnotu, než a v předchozím řešení).

Partikulární řešení dosadíme do vztahů pro radiální a tečné napětí (tyto vztahy platí pro rovinnou deformaci a jsou různé od vztahů pro napětí v předchozí části příkladu, kdy se jednalo o rovinnou napjatost):

K součtu jednotlivých částí napětí musíme ještě připojit teplotní člen :

Axiální napětí bude

Z podmínek na okrajích kotouče určíme konstanty a , které dosadíme do vztahů pro napětí, pak

Průběh napětí je na obr. 3.

Obr. 3

Pozn.: Vztahy pro napětí a v případu rovinné deformace (kotouči je bráněno v dilataci tloušťky, tedy ) můžeme dostat přímo ze vztahů a pro rovinnou napjatost (volná dilatace tloušťky ), jestliže do nich dosadíme za Youngův modul vztah , za teplotní roztažnost vztah a za Poissonovu konstantu vztah . (Je třeba dosadit i do výrazu pro konstantu .)

zpracoval:Miroslav Denk

Příklad 3.

Mějme dlouhý dutý válec s rozměry , s počáteční teplotou s ustáleným teplotním polem , (stejné parametry jako v příkladu 2.). Nic nebrání v jeho délkové dilataci. . Jaká vzniknou ve válci napětí?

Obr. 1

Řešení: Jedná se o rovinnou deformaci, kdy v dostatečné vzdálenosti od konců je . Použijeme vztahy pro deformace při trojosé napjatosti a vypočteme axiální napětí