E-learning

Dáno: , , , , tuhost prutů je stejná

Je dána prutová soustava podle obr.1.

Určit: , ,

Určete síly v prutech dané soustavy a posuv kloubu A.

Řešení:

Obr. 2

Pro kloub A lze napsat dvě rovnice rovnováhy. Pro dvě neznámé reakce to znamená, že .

(1)

(2)

Odtud:

Celkový posuv kloubu A je:

kde je vodorovný a svislý posuv kloubu A.

Výpočet a :

I. Řešení pomocí geometrie zdeformované soustavy:

Vyjádřeme a v závislosti na deformacích prutů :

kde:

Délku úsečky vyjádříme následovně:

Po úpravě:

kde:

Po dosazení za reakce a za vyjde:

Poznámka

Práce s geometrickými vztahy deformace soustavy je zdlouhavá a přiznejme si, snadno v ní lze udělat chybu z nepozornosti. Okusíte-li eleganci řešení energetické metody, asi ji pro příště dáte přednost.

II. Řešení pomocí Castiglianovy věty:

Pro výpočet svislého posuvu kloubu A máme k dispozici přímo sílu . Pro výpočet vodorovného posuvu zavedeme sílu , pak :

Reakce v prutech je třeba vyjádřit z rovnic rovnováhy pomocí všech působících sil včetně síly P:

Odtud:

\[ a\,b \] Energie napjatosti v prutové soustavě namáhané silami je:

Energii U vyjádříme pomocí vnějších sil:

Deformace jsou (pro ):

Obr. 1

Dáno:

Je dán nosník s plynule proměným průřezem, který je uložen a zatížen podle obr.1.

Určit:

Určete průhyb na volném konci vetknutého nosníku.

Řešení:

Obr. 2

Řešení provedeme pomocí Castiglianovy věty. Pro výpočet průhybu v místě B zvolíme fiktivní sílu . V obecném místě působí vnitřní ohybový moment:

Vzhledem k zavedení proměné je třeba ještě určit délku z výrazu:

odkud

Kvadratický moment plochy v obecném místě o šířce je:

kde z podobnosti trojúhelníků platí:

Energie napjatosti v ohýbaném nosníku je:

Průhyb volného konce určíme z Castiglianovy věty:

Po dosazení za dostaneme:

Mějme nosník na jednom konci vetknutý, na druhém konci prostě podepřený. Materiál nosníku se řídí lineárním Hookeovým zákonem a deformace jsou malé. Nosník je uprostřed rozpětí zatížen osamělou silou.

V bodě působí na nosník staticky neurčitá reakce . Vypočítáme-li jí kupř. z deformační podmínky dostaneme

Zatížíme-li nosník nějakou silou na konci, pak pro hodnoty se bude nosník prohýbat vzhůru a deformační energie v nosníku vzroste.

Pro hodnoty se bude nosník prohýbat dolů a deformační energie rovněž poroste.

Pro bude průhyb na konci nosníku nulový a deformační energie bude minimální.

Vyjádříme deformační energii v nosníku. K tomu potřebujeme ohybové momenty v obou částech:

Hodnoty této kvadratické funkce vzávislosti na poměru jsou v grafu:

Průhyb nosníku na konci dostaneme podle 2. Castiglianovy věty derivací deformační energie podle síly (doplňková energie v tomto případě).

Průběh průhybu je rovněž znázorněn v grafu. Nulový průhyb nastává při zároveň je tedy a funkce má v tomto bodě stacionární bod.

Derivujeme-li ještě jednou máme jedná se tedy o minimum, jak je patrné i z grafu.

Zpracoval: František Novotný

Určete maximální napětí a průhyb nosníku. Nosník má obdélníkový průřez a materiál je elastický a má nelineární tahový diagram. Předpokládejte malé deformace.

(1)

Za předpokladu, že průřezy nosníku zůstavají po deformaci rovinné a kolmé ke střednici (Bernoulliho hypotéza), bude prodloužení lineární funkcí stejně jako u nosníku,který se řídí lineárním Hookeovým zákonem. Napětí v průřezu však nebude lineární funkcí .

Označme maximální prodloužení v řezu o souřadnici jako , pak prodloužení v průřezu bude popsáno funkcí

(2)

a napětí po dosazení do vztahu bude popsáno funkcí

(3)

Moment přenášený v průřezu vypočteme jako moment vnitřních sil k ose y

(4)

Dosaďme ze vztahu do za

(5)

Maximální napětí bude v krajním vlákně uprostřed nosníku:

(6)

Výraz bychom mohli označit za ohybový modul průřezu nosníku obdélníkového průřezu s materiálem typu .

K výpočtu průhybu uprostřed nosníku použijeme 2. Castiglianovu větu. Zatížíme nosník uprostřed fiktivní silou . Průhyb vypočteme derivací doplňkové deformační energie podle této síly, neboť v případě, kdy nejsou přítomny geometrické nelinearity je doplňková deformační energie rovna doplňkové práci vnějších sil .

(7)

Vnitřní moment v nosníku pak bude

(8)

a jeho derivace podle

(9)

Stanovte nejprve hustotu doplňkové deformační energie

(10)

(11)

po dosazení do a derivaci složené funkce:

(12)

a po dosazení za ze vztahu a pro a dostaneme:

(12a)

Průhyb je samozřejmě nelineární (v tomto případě kvadratickou) funkcí zatížení.

Ke stejnému výsledku bychom došli integrací diferenciální rovnice průhybové čáry

(13)

kterou dostaneme ze vztahu po dosazení za

(14)

Zvídavý student se o tom rád předsvědčí.

Zpracoval: František Novotný

Podívejme se, jakým způsobem je namáhána komínová stupačka. Jestliže lezec na ní stoupá uprostřed, či mimo osu. Budeme předpokládat, že kramle je vetknutá v místech A a B a má kruhový průřez.

Dáno:

Určit:

1) předpokládejme nejprve, že lezec stojí pravou nohou v místě C - uprostřed stupačky. V tomto případě je jeho tíže (F) přenášena na obě strany stejně a část DE stupačky je namáhána pouze na ohyb. Části AD a BE jsou ohýbány a krouceny. Vnitřní účinky jsou rozloženy symetricky k ose y.

V průřezu C působí ohybový moment

(vzhledem k ose y) a normálná síla N ve směru osy x.

Oba tyto účinky jsou staticky neurčité

(1)

Budeme uvažovat deformační energii pouze od ohybu a krutu v části C - D působí ohybový moment

V části D - A působí ohybový moment vzhledem k ose x''

dále ohybový moment vzhledem k ose z''

a kroutící moment vzhledem k ose y''

Deformační energie ve stupačce bude

Po dosazení do podmínek pro minimum deformační energie (1) dostaneme soustavu dvou rovnic pro neznámé

(normálná síla vyjde nulová).

2) v případě, že lezec stoupne mimo bod C, jeho tíže nebude přenášena na obě strany stejně, části AD a BE se budou prohýbat různě koncové průřezy D a E části DE se budou vůči sobě natáčet. Část DE bude kromě ohýbání též zkrucována.

Uvolníme-li jedno z vetknutí, pak výslednou sílu a moment, které v něm působí lze rozložit do složek podle obrázku.

Těchto 6 sil bychom mohli považovat za staticky neurčité, avšak můžeme předpokládat, že některé z nich budou nulové. V důsledku toho, že předpokládáme malé deformace a ve výpočtu zanedbáváme deformační energii od normálných a tečných sil, budou složky

nulové. Skoba se bude ohýbat směrem dolů, bude docházet ke zkrucování jejích částí, ale složka momentu

bude nulová. Zbývají tedy síly

, které určíme z podmínek

Pokud bychom snad nedůvěřovali zjednodušení, nic nebrání tomu, považovat všechny složky za nenulové a řešit úlohu jako 6x staticky neurčitou.

Rozbor úlohy lze provést i jiným způsobem - odpojíme přední část stupačky a nahradíme vnitřní síly v rozích:

Přední část je zkrucována momentem

(pohledem k ose x) a ohýbána momenty

(vzhledem k ose z). Působí na ni i reakce

ve směru osy y.

Z podmínek rovnováhy máme

Staticky neurčité budou síly

. Na zbývající části stupačky tedy podle zákona akce a reakce působí následující síly

Levá část je ohýbána momenterm

(vzhledem k ose x) a svislou silou

, moment

ji zkrucuje.

Podobně pravá část je zkrucována momentem

a ohýbána silou

a momentem

Neznámé síly určíme z podmínek

Zpracoval: Zozulák Petr

Dáno:

Soustava těles (křivý prut a nosník) je zatížena veličinami

Určit: Reakce v uloženích.

Obr. 1

Řešení:

Obr. 2

Na obr. 2 jsou zakresleny reakce v uloženích působící na jednotlivá tělesa

Rovnice rovnováhy jednotlivých těles :

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Neznámých reakcí je 7, rovnic rovnováhy 6. Z toho vyplývá, že soustava je jedenkrát staticky neurčitá. Proveďme rozbor, z kterých reakcí lze vybrat staticky neurčitou do deformační podmínky. Z rovnice (1) vyplývá, že velikost reakce je známá. Totéž platí pro z rovnice (4). Žádná z ostatních 5 reakcí se přímo z rovnic rovnováhy nedá vypočítat, můžeme volit kteroukoli. Např.

(7)

Dále určíme vnitřní statické ohybové momenty. Vliv posouvajících sil a normálových sil lze v řešení zanedbat. Vzhledem k volbě staticky neurčité veličiny je výhodné zvolit proměnné a a příslušné rovnice odříznutých částí těles podle obr. 3.

Obr. 3

Ohybové momenty v myšlených řezech jsou :

Energie napjatosti

Zkontrolujeme, zda energie napjatosti je funkcí pouze t.zv. nezávislých veličin.

Nezávislé veličiny jsou:

1) vnější síly (

) a reakce, které lze určit přímo z rovnic rovnováhy (

)

2) reakce, které jsme vybrali do deformačních podmínek ()

Závislé veličiny jsou všechny ostatní reakce ()

Vzhledem k tomu, že závislé veličiny se ve výrazu pro U nevyskytují, je možno formulovat rovnici (7) :

Z rovnice (7) vypočteme . Ostatní reakce vyplynou z rovnic (2), (3), (5) a (6). Tato varianta řešení vede nejkratší cestou k cíli.

Poznámka:

Kdybychom zachovali rovnici (7) se staticky neurčitou reakcí

avšak výpočet momentu

provedli např. pro druhou část tělesa BC podle obr. 4 dostaneme :

Obr. 4

Reakce a jsou závislé veličiny a je třeba je z výrazu pro odstranit dosazením z rovnic rovnováhy:

pak

což se shoduje s předchozím výrazem pro ale bylo nutno učinit některé kroky navíc.

Dáno:

Soustava křivého prutu (A,B,C,D) o ohybové tuhosti a přímého prutu (A,B) o tuhosti v tahu je zatížena silou

Určit:

Určete změnu vzdálenosti míst C, D a A, B na křivém prutu po deformaci soustavy.

Obr. 1

Řešení:

Obr. 2

Prut AB je namáhaný podle obr.1 pouze na tah reakcí .V obecném místě křivého prutu působí vnitřní statické účinky podle obr.3. Energie napjatosti a napětí způsobené normálovou silou a posouvající silou jsou nepodstatné ve srovnání s hodnotami vyvolanými ohybovým momentem Proto je dále zanedbáme. Křivý prut má 1 osu symetrie. Na obr.2 je zakresleno výpočtové schéma poloviny prutu.

Rovnice rovnováhy odříznuté části prutu :

(1)

(2)

Třetí rovnice rovnováhy (do svislého směru) je triviální. Neznámé jsou vnitřní statické účinky a reakce Soustava těles je dvakrát staticky neurčitá. Připojíme dvě deformační podmínky (věty o minimu deformační práce) pro libovolnou dvojici neznámých, např. :

(3)

(4)

Pro výpočet energie napjatosti určíme vnitřní statické účinky (v našem případě pouze )ve dvou myšlených řezech (obr.3). Pro rovnice rovnováhy odříznuté části tělesa vybíráme, pokud možno, takovou část tělesa, kde se vyskytují veličiny, které se vyskytují rovněž v deformačních podmínkách ( ), zde viz obr.3.

Obr. 3

Vyjádříme moment v intervalu pro

a v intervalu pro

Energie napjatosti celé soustavy těles je

Deformační podmínky pak jsou, derivujeme-li jako složené funkce :

(3)

(4)

Ze soustavy rovnic (3), (4) vypočteme neznámé

Vnitřní účinky lze dopočítat z rovnic (1), (2). Deformace prutu () je stejná jako deformace přímého prutu :

Deformaci prutu ve svislém směru ( určíme z Castiglianovy věty

Ohybové momenty pro výpočet energie napjatosti je třeba upravit do vztahu závislého pouze na síle .

Deformace je

Po úpravě výrazu získáme skutečnou hodnotu

Upozorneni: v tabulce momentu v radku 3 ma byt znamenko + mezi prvnim a druhym clenem. Brzy opravim. Prilozeny Matlabovsky skript a vysledky jsou vporadku. Marvalova

Rám z materiálu s modulem pružnosti má konstantní průřez . Je zatížen spojitým zatížením a osamělou silou podle obrázku. Jde o rovinnou úlohu
(rám je v rovině nákresny a všechny síly působí v této rovině, tedy rám je namáhán převážně na ohyb. Určete průměr průřezu a průhyb pod silou .

Dáno:

Určit:

Řešení:

Průbyb určíme pomocí Castiglianovy věty:

(1)

Pro určení průřezu musíme vypočítat maxilmální vnitřní ohybový moment a průřez určíme z podmínky:

(2)

Jde o uzavřený rám, u kterého musíme nejprve určit vnitřní síly ve dvou vhodně zvolených myšlených řezech, máme tedy 6 nezávislých neznámých vnitřních sil. Možností jak zvolit tyto dva řezy je celá řada, rám by jimi měl být rozdělen na dvě staticky určité části. Jednou z možností je oddělit příčku v bodě A a rozdělit rám na dvě části v levém horním rohu B.

V řezu A i B působí momenty

a dvě složky síly označené

. Tyto síly jsou staticky neurčité - zapíšeme podmínky pro minimum deformační energie - šest rovnic pro šest neznámých:

K těmto rovnicím připojíme ještě rovnici (1) pro výpočet průbybu pod silou F.

Levé strany těchto rovnic rozepíšeme. Rám je namáhán převážně na ohyb, budeme uvažovat pouze deformační energii od ohybových napětí. Rám rozdělíme na úseky, ve kterých je vnitřní ohybový moment spojitou funkcí souřadnic. Hranice těchto úseků jsou v rozích a v místech, kde působí osamělé síly. Rám je tedy třeba rozdělit na 7 úseků. Celková doformační energie je součtem deformační energie v jednotlivých částech rámu:

(9)

Derivace U podle síly P, kde P je postupně

(10)

Je tedy třeba určit vnitřní ohybové momenty v jednotlivých částech a jejich derivace vzhledem k jednotlivým silám.

Tabulka 1

Nyní máme vše připraveno k dosazení do rovnic (1) a (3 ÷ 8). Sloupec momentů v tabulce vynásobíme sloupcem příslušné derivace a integrujeme v daných mezích, integrály sečteme. Soustavu sedmi rovnic vyřešíme a vypočtené síly dosadíme zpět do vztahů pro momenty

. Určíme maximální moment. Vnitřní momenty jsou v částech 1 ÷ 6 lineární funkcí x, maxima mohou být buď na počátku, nebo na konci úseku. v příčce je moment kvadratickou funkcí x, jeho maximum může být buď na počátku či na konci příčky, nebo ve vrcholu paraboly. Určíme ho obvyklým způsobem. Momenty zakreslíme do grafů.

Určíme také reakce ve vetknutích.

Levé vetknutí:

Pravé vetknutí:

Průhyb pod silou F bude:

Maximální vnitřní moment je pod silou F a jeho hodnota je:

Určíme průměr průřezu rámu ze vztahu (2) a dosadíme do vztahu pro průhyb. Řešení úlohy je dosti pracné, avšak ve chvíli, kdy jsme sestavili tabulku 1, můžeme svěřit výpočet počítači. K příkladu je přiložen textový soubor, který lze zkopírovat, uložit příponou .m (file.m) a spustit v prostředí MATLAB. Program využívá SYMBOLIC TOOLBOX. Skript si jistě MATLABu znalí studenti dokáží sestavit mnohem racionálněji.
Z grafů vnitřních momentů, které jsou jedním z výstupů výpočtu, vidíme, že rám je nejvíce namáhán v horní uzavřené části. Dolní části stojanu jsou namáhány tlakem - přenáší zatížení do podpor. Momenty ve vetknutích jsou o řád menší, než maximální moment.

Zpracoval: Zozulák Petr

Pro rám se dvěma klouby určete maximální vnitřní ohybový moment.

Dáno:

Určit:

Řešení:

V kloubech

působí vnitřní síly, které můžeme rozložit na dvě navzájem kolmé složky. Odpojíme část II od ostatních částí rámu a nahradíme vzájemné silové působení mezi jednotlivými částmi.

Vzhledem k tomu, že na část II nepůsobí žádné vnější síly, musí být vnitřní síly v bodech

stejné (složkové podmínky rovnováhy II). Zbývá zapsat momentovou podmínku rovnováhy pro část II.

(1)

Síla X je tedy staticky neurčitá a stanovíme ji z podmínky minima deformační energie soustavy.

(2)

Při dosazení do této podmínky postupujeme jako obvykle - stanovíme vnitřní ohybové momenty a jejich derivace podle síly

, dosadíme do rovnice (2) a vypočteme sílu

. Po dosazení

do vztahů pro momenty můžeme zakreslit do grafu jejich průběh a určit maximální hodnotu.

Maximální moment je v levém dolním vetknutí.

Moment v horním vetknutí je 343 Nm.

Zpracoval: Zozulák Petr

Dáno:

Trubka daných rozměrů a materiálu je v nezatíženém stavu vložena bez vůle do tuhého rámu.

Určit:

Určete tlak

mezi trubkou a tuhým rámem, do něhož je trubka vložena, začne-li působit tlak

. Dále určete změnu všech rozměrů trubky.

Obr. 1

Řešení :

Radiální napětí na obou površích nádoby jsou

Obvodová napětí jsou :

kde konstanta představuje fiktivní osové napětí ve fiktivním modelu pro výpočet této konstanty (tj. uzavřená nádoba zatížená všestrannými tlaky , )

Model pro výpočet

se liší od skutečnosti. Skutečné osové napětí je

Úloha je staticky neurčitá. Velikost tlaku určíme z deformační podmínky , kde

Po dosazení vyjde

Změny rozměrů jsou :

Dáno:

V nezatíženém stavu jsou na sebe oba pláště nádoby navlečeny bez vůle. Vnitřní plášť je uzavřen víky. Materiály obou plášťů jsou různé a chovají se oba jako houževnaté.
Určit:

Určete bezpečnost nejvíce namáhaných míst obou plášťů dvouplášťové tlakové nádoby vzhledem k mezi kluzu. Výpočet vzájemného tlaku mezi nádobami je předpokladem pro další řešení.

Obr. 1

Řešení :
Nejprve provedeme rozbor napjatosti v každém z plášťů. Vnitřní nádoba (plášť) je uzavřená. Namáhání je zřejmé z obr.2. Osové napětí v nádobě je tahové :

Obr. 2

Radiální napětí jsou na okrajích nádoby dány okrajovými podmínkami

Konstanta (fiktivní osové napětí v nádobě 1) je

Obvodová napětí jsou

Obr. 3

Vnější nádoba je otevřená (viz obr.3), tedy skutečné osové napětí jest

Radiální napětí jsou

Konstanta (fiktivní osové napětí v nádobě 2) je

Obvodová napětí jsou

Sestavení dvou plášťů na sobě tvoří staticky neurčitou soustavu, kde velikost tlaku určíme z deformační podmínky Zde je

Po dosazení do deformační podmínky dostaneme

Vyjde :

Výpočet a bezpečnosti provedeme u obou plášťů na vnitřním okraji, kde je vždy napjatost v nádobě nejnepříznivější. Pro výpočet použijeme H-M-H pevnostní podmínku.

Vnitřní plášť je na vnitřním okraji zatížen 3-osou napjatostí:

Bezpečnost je

Vnější plášť je na vnitřním okraji zatížen 2-osou napjatostí:

Bezpečnost je

Mějme tlustostěnnou trubku, kterou chceme zatížit provozním přetlakem Podle výpočtu by však ekvivaletní Guestovo napětí překročilo - viz. obr. 1

obr. 1

(1)

(2)

Jak bychom mohli snížit namáhání, aniž bychom zvětšili vnější poloměr trubky a tedy i zvýšili tíhu konstrukce? Navrhneme trubku sestavenou ze dvou trubek s přesahem tak, aby napjatost v trubkách po zatížení provozním tlakem byla optimální (nemusí se však podařit snížení maximálního ekvivalentního napětí pod hranici ). Po sestavení trubek s přesahem vznikne tlakové obvodové napětí ve vnitřní trubce, a tedy dojde ke snížení výsledného napětí při provozním zatížení. Napjatost v trubkách po nalisování a zatížení provozním tlakem je následující.

obr. 2

(3)

(4)

Napjatost v trubkách při daném zatěžujícím tlaku můžeme ovlivnit změnou poloměru a velikostí přesahu pro nalisování. Optimální stav vznikne tehdy, když maximální ekvivalentní napětí v obou trubkách budou stejná a co nejmenší.

(5)

(6)

1. podmínku

(7)

splňuje tlak

na společném poloměru, který však zároveň závisí na zatěžujícím tlaku a na poloměru

(7a)

Z toho vyjádříme

(8)

Dosaďme

zpět do

(6a)

2. podmínka:

má být co nejmenší - proto musí výraz ve jmenovateli

nabývat co největší hodnoty. Hledejme velikost poloměru

, pro který je tento výraz maximální.

(9)

(10)

Druhá derivace je záporná, nalezli jsme maximum.

Dosadíme-li za

do výrazu

pro

můžeme ho vypočítat.

(6b)

Převyšuje-li toto napětí

pak je třeba poloměr

zvětšit.

Potřebný přesah

pro nalisování dostaneme z deformační podmínky:

(11)

Z grafů vidíme:

(12a)

(12b)

(12c)

(11a)

Tento výraz lze dále zjednodušit, neboť z podmínky

(13)

a tedy

(11b)

Dosadíme-li sem za

a za

dostáváme

(11c)

Co z výpočtu vyplývá:

1) nejprve je nutné se přesvědčit, zda lze optimalizací pro daný provozní tlak provést pro zvolenou kombinaci

t.j. zjistit, zda optimální maximální napětí je menší než požadované dovolené napětí. Zjistíme to ze vztahu

Není-li tento vztah splněn, je třeba poloměr

příslušně zvětšit.

2) navrhneme optimalní dělící poloměr mezi trubkami

3) navrhneme optimalní přesah

V tom případě pak bude ekvivalentní napětí v obou trubkách stejné a rovné

Uvědomme si, že optimalizaci jsme provedli pro daný přetlak

daný vnitřní poloměr

a dané

Změní-li se přetlak

v trubce, nebude již vzniklá napjatost v trubkách optimální.

Mějme dáno:

Stanovme optimální sestavu.

Řešení:

obr. 3

Kdyby byla trubka z jednoho kusu, pak pro a pro jí můžeme zatížit pouze tlakem

Pozn: Grafy, které jsou důležitou pomůckou při řešení této úlohy, jsou záměrně kresleny "od ruky" tak, jak si je může student při řešení snadno sám zobrazit. Jejich vypovídající hodnota je daleko důležitější, než jejich hodnota estetická.

Zpracoval: Radek Zbončák

Pro uzavřenou nádobu s vnitřním přetlakem a vnitřním poloměrem určete tloušťku stěny.

obr. 1

1) Vypočteme konstantu

z okrajových podmínek:

2) Nakreslíme grafy radiálního a tečného napětí (graf tečného napětí je souměrný s grafem radiálního napětí podle osy

)

Nebezpečná napjatost vzniká na vnitřním okraji nádoby jak je zřejmé z grafů napětí a z Mohrových kružnic k nim připojených. Maximální ekvivalentní napětí podle Guestovy pevnostní hypotézy je pro otevřenou i pro uzavřenou nádobu stejné a je rovno průměru nejvetší Mohrovy kružnice.

Podle hypotézy HMH bychom dostali nižší ekvivalentní napětí pro uzavřenou nádobu (tahové osové napětí zmenší distorsi elementu a tedy sníží deformační energii odpovídající změně tvaru). Pro napjatost danou hlavními napětími:

Z grafu napětí vidíme:

Po dosazení a po úpravě dostáváme pro uzavřenou nádobu vztah

Tloušťku stěny dostaneme z podmínky

Vnější poloměr uzavřené nádoby navržený podle HMH je menší, což jsme očekávali.

Zpracoval: Radek Zbončák

Pro uzavřenou nádobu s vnitřním přetlakem a vnitřním poloměrem určete tloušťku stěny.

Dáno: , ,

Určete: .

Řešení:

Pro nádobu s vnitřním přetlakem je největší hlavní napětí a nejmenší hlavní napětí . Hodnota s rostoucím klesá, zatímco roste. Největší redukované napětí proto vychází na vnitřním povrchu nádoby (pro )

Podmínka pevnosti má tvar

Dosadíme za konstantu a upravujeme

Platí a . Dostáváme proto

Po vyjádření máme vztah

Dosadíme číselné hodnoty a dostaneme

Zpracoval: Milan Šimko

Ocelový čep má být nalisován do otvoru ocelové čtvercové rozsáhlé desky o rozměrech

a spoj má přenášet kroutící moment. Určete maximální moment, který může čep přenášet a pro tento moment navrhněte přesah potřebný pro nalisování. Zkontrolujte, zda ekvivalentní napětí v desce nepřesáhne dovolené napětí.

Dáno:

součinitel tření ve spoji

deska a x a

Určit:

Rozměry desky jsou mnohem větší, než průměr otvoru

desku můžeme považovat za rozsáhlou => napjatost v desce v dostatečné vzdálenosti od otvoru vymizí. Maximální kroutící moment, který může čep přenášet

Ve spoji po nalisování vznikne tlak

, na element plochy

bude působit výsledná normálná síla

. Tečná třecí síla bude

a její moment k ose čepu je

. Výsledný přenášený kroutící moment bude

Z podmínky

dostaneme potřebnou velikost tlaku

V čepu vzniká dvouosá napjatost

, v desce vzniká rovněž dvouosá napjatost

, konstantu

můžeme určit z okrajové podmínky

. Na okraji otvoru v desce, je tedy napětí

. (viz obr.)

Potřebný přesah poloměrů pro nalisování

Maximální ekvivalentní napětí v desce podle Guesta je

Zpracoval: Zozulák Petr

Dáno: , , ,

Určete: Bezpečnost.

Řešení:

Uvažujme dvě varianty - nádobu uzavřenou ( s osovým napětím) a nádobu otevřenou (bez osového napětí).

Pro silnostěnnou nádobu platí vztahy

(1)

(2)

kde

(3)

(4)

Pro osové napětí v uzavřené nádobě platí

(5a)

zatím co pro otevřenou nádobu je osové napětí nulové

(5b)

Budeme předpokládat, že . Ve skutečnosti je vnější tlak a únosnost nádoby s rostoucím poroste.

Stanovme nejprve hodnoty konstant a . Po dosazení dostaneme

Je-li konstanta kladná (jako v tomto případě), vyjadřuje vztah (1) klesající funkci a vztah (2) funkci rostoucí. Na vnitřním povrchu nádoby (pro ) platí , na vnějším povrchu platí . Průběhy (1) a (2) jsou symetrické vůči přímce s hodnotou . Hodnota osového napětí, ať už je (5a) nebo (5b) leží mezi funkcemi (1) a (2). Podle hypotézy platí

Největší napětí je v tomto případě , střední napětí je a nejmenší napětí je . Proto

Napětí i jsou funkcemi poloměru , proto na poloměru závisí i . Pro výpočet bezpečnosti je rozhodující nejnamáhavější místo, což je místo s poloměrem .

Dosadíme z (1) až (4) a dostáváme (za předpokladu, že )

Bezpečnost silnostěnné nádoby je pak dána vztahem

po dosazení tak máme

Zpracoval: Milan Šimko

Dáno:

Deska je uložena a zatížena podle obr.1 a je vyrobena z houževnaté oceli.

Určit:

Určete průhyb uprostřed desky a redukovaná napětí uprostřed a v místě vetknutí po obvodě desky.

Obr. 1

Řešení:

Tuhost desky :

Obr. 2

Tečná síla v obecném řezu na poloměru podle obr.2 se určí z podmínky rovnováhy do svislého směru oddělené části desky

a po úpravě

Diferenciální rovnice desky je

Řešení diferenciální rovnice desky pro sklon tečné roviny k průhybové ploše

Výpočet konstant z okrajových podmínek

(1)

(2)

Po dosazení za , je

Průhyb desky udává rovnice

Okrajová podmínka pro průhyb je

(3)

Průhyb v obecném místě je

Maximální průhyb uprostřed je

Rozbor napětí :

Vnitřní statické účinky v obecném místě r desky jsou posouvající síla a radiální a obvodový moment

Uprostřed desky je

Radiální a obvodové napětí na spodním a vrchním povrchu desky jsou

Redukované napětí podle pevnostní podmínky H-M-H pro tuto 2-osou napjatost je

Na vnějším okraji desky je

kde [N/ m] a [Nm /m] jsou zároveň reakce působící na desku z uložení. Odpovídající napětí jsou

Napětí od posouvající síly je u tenké desky zanedbatelné.

Redukované napětí pro je

Pro ocelovou desku () platí

Napětí od posouvající síly je u tenké desky zanedbatelné.

Dáno:

Deska zatížená ohybovým momentem [Nm/m] je uložena v místě A na rám a uprostřed podepřena prutem o tuhosti v tahu . Ohybová tuhost desky je

Určit:

Určete reakce v uloženích desky. Naznačte řešení.

Obr. 1

Řešení: Rovnice rovnováhy desky je

(1)

Deska je jedenkrát staticky neurčitá. Reakce

působí z prutu na desku, reakce

z desky na prut.

Obr. 2

V intervalu platí podle obr.2

Diferenciální rovnice pro tuto část desky , její řešení a rovnice pro průhyb desky jsou :

V intervalu podle obr.3 je

Obr. 3

Tomu odpovídá diferenciální rovnice a další řešení:

Je třeba určit konstanty a reakce a K dispozici je jediná rovnice rovnováhy desky (1), kterou je nutno doplnit 7 okrajovými podmínkami :

(2)

případně

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Získáme soustavu 8 rovnic pro 8 neznámých.

Vypočtěte maximální napětí a průhyb tenké mezikruhové ocelové desky prostě podepřené na vnějším i vnitřním okraji a zatížené konstantním tlakem.

obr. 1

Dáno:

obr. 2

Řešení:

Podmínka rovnováhy desky:

(a)

Z této rovnice nelze vypočítat reakce - úloha je staticky neurčitá.

Posouvající síla v myšlem řezu o poloměru

obr. 3

obr. 4

(b)

Za vztažný poloměr zvolíme poloměr

desky a tedy bezrozměrný poloměr

(Poloměr desky

je v intervalu

bezrozměrný poloměr

)

Rovnice

upravíme. (Označme

)

Označme

(bezrozměrné reakce)

(c)

(d)

Pravá strana diferenciální rovnice desky

(viz. příklad "Bezrozměrné souřadnice ")

a její řešení podle

bude

(e)

Průhyb desky dostaneme integrací rovnice

(f)

Vnitřní ohybové momenty podle vztahů

(g)

(h)

Neznámé integrační konstanty

a neznámou reakci

určíme z okrajových podmínek desky:

Na vnitřním poloměru

je radiální napětí nulové a tedy i radiální moment je zde nulový. Rovněž průhyb je nulový na vnitřním okraji.

Stejné podmínky platí na vnějším poloměru

Po dosazení a po úpravě dostáváme soustavu 4 lineárních rovnicpro neznámé

Dosadíme za

a soustavu lineárních rovnic vyřešíme. Po dosazení do

dostaneme průběh deformace a namáhání desky. Tyto funkce můžeme zobrazit graficky (viz. obr.)

Vztahy

však platí pro jakoukoli mezikruhovou desku zatíženou konstantním tlakem. Lišit se budou pouze okrajové podmínky.

Okrajové podmínky se mohou týkat natočení

průhybu

a radiálního momentu na vnitřním a vnějším okraji - kupř.:

Deska vetknutá na vnějším i vnitřním okraji:

Deska prostě podepřená na vnějším okraji - vnitřní okraj volný:

Deska je ve stavu dvouosé napjatosti, musíme tedy určit ekvivalentní napětí podle pevnostní hypotézy HMH:

obr. 5

obr. 6

obr. 7

Zpracoval: Radek Zbončák

Mějme dlouhou tenkostěnnou ocelovou trubku vyztuženou ocelovým prstencem. Trubka je zatížená vnitřním přetlakem

. Určete napětí v trubce.

Dáno:

Určit:

Řešení:

Trubka je tenkostěnná válcová skořepina, prstenec lze rovněž považovat za tenkostěnný

. Prstenec brání volné deformaci trubky v radiálním směru. Předpokládáme, že mezi prstencem a trubkou se přenáší radiální síla F [N/m] rovnoměrně rozložená po obvodu. Tato síla je staticky neurčitá, vypočteme jí z deformační podmínky: Průhyb trubky v místě prstence a zvětšení poloměru prstence musí být stejné.

Zvětšení poloměru prstence:

V prstenci vzniká obvodové tahové napětí (radiální napětí zanedbáme), vnitřní síly musí být v rovnováze se silami vnějšími:

Změna poloměru prstence:

(1)

Průhyb trubky vypočteme podle teorie tenkostěnných válcových skořepin. V místě prstence bude sklon tečny k prohnuté střednici stěny trubky roven 0. Viz obr. Trubka se bude ohýbat pouze v blízkosti prstence, ve větší vzdálenosti jíž v ní bude pouze membránové napětí t. j. obvodové napětí

.

Rozdělíme trubku na dvě části v místě prstence.

Kromě tlaku

a rovnoměrně rozložené radiální síly

bude na konce trubek působit ještě vnitřní ohybový moment Tento moment je staticky neurčitý a určíme ho z podmínky nulového sklonu průhybové čáry na počátku.

Diferenciální rovnice pro průhyb dlouhé tenké válcové skořepiny bude:

(2)

kde

Označme souřadnici

.

Homogenní řešení rovnice je:

(3)

Partikulární řešení je:

(4)

což je roztažení trubky vlivem vnitřního přetlaku

(5)

Sklon průhybové čáry v počátku je nula. Po derivaci máme

(6)

Z podmínky

dostáváme rovnici

(7)

Tedy po dosazení

(5a)

(7a)

Na počátku desky působí osový moment M a příčná síla

musí platit:

(8)

(9)

Derivací dostáváme

(10)

(11)

Po dosazení do podmínky (9)

dostáváme konstantu

Dosazením do podmínky (8) dostáváme moment

Zbývá určit sílu

mezi prstencem a trubkou. Změna poloměru prstence

musí být rovna průhybu trubky v místě prstence

(12)

(12a)

Zpracoval: Zozulák Petr

Dáno:

Jsou dány tyče tenkostěnného průřezu (uzavřený průřez s dvojnásobně souvislou oblastí, uzavřený průřez s žebry a otevřený průřez) namáhané na krut.

Určit:

Určete průřezové moduly v krutu a momenty tuhosti v krutu průřezů podle obr. 1, 2, 3. Srovnejte jejich únosnost a tuhost.

Řešení:

I. Průřez s dvojnásobně souvislou oblastí:

V průřezu vznikají napětí

Podle třetí věty membránové analogie platí :

Vzájemné vztahy mezi napětími z rovnic rovnováhy obou vložených destiček (pro malé úhly platí atd. ):

Po dosazení z první a druhé rovnice rovnováhy vyjde

Odtud dostaneme :

a tedy platí, že

Obr. 1

Rovnice pro kroutící moment upravíme do tvaru :

takže

Dále podle čtvrté věty membránové analogie je

Odtud :

II. Rozřízneme-li kroucenou tyč po délce podle obr. 2, získáme uzavřený profil s žebry

Obr. 2

V průřezu vzniknou napětí :

Podle třetí věty membránové analogie lze napsat:

Po dosazení je

Z rovnic rovnováhy vložené destičky a části membrány o délce

Vyjde:

a protože je . Do rovnice pro dosadíme za

a tedy

Moment tuhosti v krutu je :

III. Rozřízneme-li tyč po její délce ve dvou místech podle obr. 3, dostaneme otevřený profil.

Obr. 3

Průřezové veličiny určíme ze vztahů :

Srovnání únosnosti a tuhosti průřezů podle obr. 1, 2, 3 pro dovolené napětí pro velikost průřezu

Průřez
I (obr. 1)
II (obr. 2)
III (obr. 3)

Uzavřené profily mají (řádově) výrazně větší únosnost a tuhost nežli otevřené.

Dáno:

Tyč tenkostěnného průřezu podle obr. 1 je zatížena kroutícím momentem

Určit:

Určete průřezový modul v krutu , moment tuhosti , pootočení koncových průřezů tyče, maximální napětí a místo průřezu v němž působí.

Obr. 1

Řešení:

Řešíme pomocí fiktivního experimentu na tenké membráně namáhané fiktivním tlakem (představa o experimentu je znázorněna ve spodní části obr.1).

V průřezu vznikají dvě velikosti napětí (podle 2. věty membránové analogie), která jsou po tloušťce příp. přibližně konstantní.

Podle 3. věty membránové analogie platí :

Maximální napětí určíme porovnáním obou napětí

odkud plyne

Protože platí :

Ze čtvrté věty membránové analogie určíme

Výraz získáme z rovnice rovnováhy vložené destičky experimentu

Odtud :

Po dosazení za a se ve výrazu zkrátí a vyjde :

Maximální napětí vzniká ve dvou stranách o tloušťce a délce šestiúhelníkového průřezu trubky :

Vzájemné pootočení koncových průřezů je :