Navigace

Hlavní nabídka
Obsah


Hmotný bod na drsné nakloněné rovině

Obr.1 Počáteční poloha

Dáno:

Je dán bod o hmotnosti na drsné rovině skloněné pod úhlem . Rychlost a poloha bodu na počátku děje jsou nulové. Bod je uveden do pohybu vlivem vlastní tíže. Koeficient tření mezi bodem a rovinou je .

Určit:

Určete zrychlení, rychlost a polohu bodu v závislosti na čase, rychlost bodu v závislosti na dráze a rychlost bodu po překonání vzdálenosti .




Rešení:
Obr.2 Uvolnění hmotného bodu

Na obrázku je zachyceno uvolnění bodu v obecné poloze. K sestavení pohybové rovnice užijeme Newtonova způsobu.
Ve vektorovém vyjádření platí :




Složkové rovnice psané ve směru osy a jsou :

(1)

, (2)


kde je
třecí síla,
tíhová síla.

Z rovnice (2) vyjádříme normálovou sílu a dosadíme do (1).




Rovnici (1) vydělíme hmotností a přepíšeme do tvaru :

, (3)


Dostali jsme hlavní pohybovou rovnici (3) . Je to lineární diferenciální rovnice 2.řádu s nenulovou pravou stranou. Zrychlení bodu je závislé na parametrech a . To jsou ale z hlediska zadání konstanty. Tedy i výsledné zrychlení je konstantní a označíme jej .

Rychlost bodu v závislosti na čase ; :

Vzhledem k jednoduchosti rovnice (3) lze k řešení použít separaci proměnných a poté integrovat. Jako spodní meze intervalu nám poslouží příslušné počáteční podmínky. V tomto případě . Do horních mezí použijeme obecné hodnoty rychlosti a času .





Po integraci :

(4)


Rychlost na čase závisí lineárně.

Poloha v závislosti na čase ; :

Užijeme obdobného postupu jako při řešení rychlosti. Počáteční podmínka v dolních mezích integrálů je .






Po integraci :

(5)


Poloha je tedy z hlediska času funkce kvadratická.

Rychlost bodu v závislosti na poloze ; :

K výpočtu lze například využít vztahu :



Počáteční podmínka užitá ve spodních mezích integrálů je .



(6)


Hodnota rychlosti v okamžiku dosažení dráhy je

(7)


Stejného výsledku lze při určování závislosti dosáhnout tak , že z rovnice (5) vyjádříme čas v závislosti na dráze :



a dosadíme do (4) :

(8)


Grafické průběhy vypočtených závislostí jsou na obr. 3 až obr. 6.

Zrychlení bodu
Obr.3 Zrychlení bodu a = a(t)


Rychlost bodu
Obr.4


Poloha bodu
Obr.5 Poloha bodu x = x(t)


Rychlost bodu
Obr.6 Rychlost bodu v = v(x)