Obr. 1

Je dán bod o hmotnosti m na drsné rovině skloněné pod úhlem . Rychlost a poloha bodu na počátku děje jsou nulové. Bod je uveden do pohybu vlivem vlastní tíže. Uvažujte odpor prostředí lineárně závislý na rychlosti s koeficientem úměrnosti .

Určete průběh zrychlení, rychlosti a polohy bodu v závislosti na času.

Obr. 2

Složkové rovnice psané ve směru os a jsou:

(1)

(2)

kde je třecí síla:

odporová síla prostředí:

tíhová síla:

D`Alembertova doplňková dynamická síla:

Z rovnice (2) ještě vyjádříme sílu normálovou a dosadíme do (1):

(2)

(2)

Rovnici (1) vydělíme hmotností a přepíšeme do následujícího tvaru:

(3)

Hlavní pohybová rovnice (3) je tedy lineární, 2. řádu, s konstantními koeficienty a nenulovou pravou stranou.

Jejím řešením je závislost

1) Homogení řešení rovnice (3)

Rovnici (3) přepíšeme do homogeního tvaru:

Charakteristický polynom je:

jehož kořeny jsou:

Homogení řešení napíšeme ve tvaru:

2) Partikulární řešení

Pravá strana rovnice (3) je konstanta, tedy polynom nultého skupně. Partikulární řešení odhadneme ve tvaru polynomu 1. stupně. Provedeme potřebné derivace a dosadíme do (3) .

Po dosazení:

Partikulární řešení tedy je:

3) Obecné řešení

Obecné řešení je součtem řešení homogeního a partikulárního:

(4)

4) Nalezení integračních konstant a

Tyto konstanty určíme z počátečních podmínek uvažovaného děje. Ty jsou:

a) poloha v nulovém čase je taktéž nulová

b) rychlost v nulovém čase je nulová: .

Pro uplatnění počáteční podmínky b) potřebujeme rovnici popisují rychlost bodu. Zderivujeme tedy (4) podle času a dostaneme rovnici (5)

(5)

a)

b)

b)

Z rovnice b) plyne:

a z rovnice a) plyne:

Integrační konstanty dosadíme do (4):

tedy:

Popis rychlosti bodu získáme z rovnice (5):

Zrychlení jako derivace rychlosti je: