Obr. 1

V homogenním tíhovém poli visí lano s proměnným průřezem , zatížené závažím o hmotnosti .

Určit :

Určete funkci , která vyjadřuje velikost průřezu lana tak, aby napětí v každém místě lana bylo rovno zadané hodnotě . Určete prodloužení lana.

Řešení :

Obr. 2

Zavedeme souřadný systém například s osou o počátku na dolním konci lana a mířící nahoru.

Dvěma myšlenými řezy na souřadnicích a vymezíme infinetisimálně malý element lana.

Na horní i dolní plochu elementu působí předepsané napětí . Element má mimoto ještě vlastní tíhu , kde je jeho objem.

Rovnice rovnováhy pak má tvar

.

Podívejme se na objem . Můžeme ho rozdělit na válec o objemu a na část , která tento válec obklopuje. i jsou nekonečně malé veličiny. Objem druhé části bude tak nekonečně malou veličinou 2. řádu a můžeme ho zanedbat.

Rovnice rovnováhy potom vypadá takto :

.

Po roznásobení dostaneme

,

čili

.

Integrujme obě strany rovnice

,

čili

,

kde je integrační konstanta.

Hodnotu stanovíme z okrajové podmínky. Víme totiž , že i na dolním konci lana musí být napětí rovno a vnitřní síla v tomto místě je rovna pouze tíze závaží :

,

čili

a

.

Výsledek:

Hledaná funkce je tedy

.

Napětí je v celé délce lana konstantní - .

Poměrná deformace je

a prodloužení lana je

.