Navigace

Hlavní nabídka
Obsah


Pohyb hmotného bodu po válcové ploše

Obr.1 Počáteční poloha hmotného bodu


Dáno :

Je dán bod o hmotnosti na ploše válcového tvaru,jejíž poloměr křivosti je . Bod se začne pohybovat z daných počátečních podmínek polohy a rychlosti bezodporově.

Určit :

Zjistěte úhel ,při kterém dojde k odpoutání hmotného bodu od válcové plochy. Určete průběh normálné síly od počátku pohybu do okamžiku odpoutání v závislosti na úhlu . Tedy , .


Obr.2 Uvolnění hmotného bodu
Řešení :

Uvolníme hmotný bod v obecné poloze a sestavíme pohybové rovnice Newtonovým způsobem v souřadném systému tečna , normála.

(1)


(2)


kde
je tečné zrychlení bodu,
je normálné zrychlení bodu,
je normálová síla,
je tíhová síla.

Po dosazení získáváme :

(1)

(2)


Máme-li v prvním případě řešit odtrh hmotného bodu od plochy , tedy velikost úhlu , je v tomto okamžiku styk mezi bodem a podložkou přerušen , tedy normálová síla je nulová a rovnice (2) přejde v (4). Integrací v mezích daných počátečními podmínkami můžeme z (1) určit průběh úhlové rychlosti.

;







(3)


Vztah (3) dosadíme do (4) , kde je zkrácena hmotnost a úhel nabývá mezní hodnoty .

(4)


(5)


odtud jednoduše vyjádříme

(6)

a tedy úhel odpoutání je

(7)

Při určování průběhu normálné síly použijeme rovnici (2) , do níž dosadíme (3).



Roznásobením závorky a rutinní úpravou dostaneme

(8)

Diskuze počátečních podmínek :


1) Budou-li počáteční podmínky nulové ,
Obr. 3


tzn. a , bude bod spočívat na nejvyšším místě válcové plochy v nestabilním rovnovážném stavu ( obr.3 ). Jakýkoli malý impuls ho uvede do pohybu. Předpokládejme tedy počáteční podmínky , sice nenulové ale blížící se nule. Potom vztahy (7) a (8) přejdou v (9) a (10).

(9)
(10)
Je zřejmé , že za předpokladu nekonečně malých počátečních podmínek úhel odpoutání nezávisí na žádných parametrech , tzn. na hmotnosti bodu , poloměru válcové plochy , dokonce ani na hodnotě tíhového zrychlení. A tak kdybychom byli schopni za uvedené podmínky experiment provést , dopadl by stejně na Zemi jako třeba na Měsíci. Bod by se odpoutal vždy pod stejným úhlem , jehož kosinus je roven .


2) Další zajímavou úvahu můžeme učinit ,
Obr. 4


položíme-li počáteční rychlost bodu a úhel mějme libovolný z intervalu .
Potom tedy i a po dosazení do (6) dostáváme , že kosinus úhlu odpoutání je vždy roven kosinu úhlu počátečního . Opět bez ohledu na parametry .

(11)
Graficky je tento vztah vyjádřen pro poloměr válcové plochy na obr.4 .

3) Nyní položme hmotný bod do libovolné počáteční polohy

. Při nulové počáteční rychlosti se bod na ploše udrží nejdéle. Pokud bude bod se od plochy odpoutá dříve. V mezním případě , bude-li rychlost dostatečně veliká , dojde k odpoutání již v počátečním úhlu , viz (11). Dochází vlastně k šikmému vrhu ( obr.5 ).

(12)

Stanovme si tuto mezní kritickou rychlost . Vztah (12) dosadíme do (6).



a odtud plyne

(13)

za předpokladu , že v tomto případě bude počáteční poloha bodu na vrcholu plochy přechází vlastně situace ve vodorovný vrh z výšky (viz obr. 6). Rychlost musí být větší nebo rovna .

pro



Obr. 4
Obr. 6