Dáno:

- směrové úhly , , .

Určit:

- transformační matici .

Pro směrové úhly lokálních souřadnicových os , , platí ( jako pro kteroukoliv přímku )

(1.1)

(2.1)

(3.1)

Kromě toho musí být jednotkové fázové vektory , , navzájem kolmé, takže

(4.1)

(5.1)

(6.1)

Vyjádření lokálních bázových vektorů , , pomocí složek v globálním souřadnicovým systému je

takže dosazení do rovnic (4.1) až (6.1) je

(4.2)

(5.2)

(6.2)

V rovnicích (1.1) až (3.1) a (4.2) až (6.2) jsou tři hodnoty zadány, takže pro zbývajících 6 je soustava úplná.

Označme nyní pro stručnost

Z rovnic (1.1) až (3.1) vypočteme , ,

(1.2)

(2.2)

(3.2)

a dosadíme do (4.2) až (6.2). Po rozdělení na obě strany rovnic a umocnění dostaneme

(7.1)

(8.1)

(9.1)

V rovnicích (7.1) až (9.1) jsou nyní jen tři neznámé . Rovnice jsou ale kvadratické, takže celkem exituje různých řešení. Před numerickým řešením rovnice dále zjednodušíme. Roznásobením levé a pravé strany rovnice (7.1) dostaneme

a po úpravě

máme standartní kvadratickou rovnici tvaru

kde význam je zřejmý.

Pro dané hodnoty , , je numerický výsledek

Nyní vybereme například kladnou z vypočtených hodnot a dosadíme do (1.2) a (2.2).

Vypočteme

Vybereme například opět kladné hodnoty a máme jedno kompletní řešení pro 1. a 2. sloupec transformační matice resp. pro složky , . Odpovídající jednotkový vektor pak můžeme stanovit z rovnice

Numericky

Nakonec je tedy jedno z možných řešení pro transformační matici

Poznámka: Z důvodu nejednoznačnosti řešení se směrové úhly os lokálního SS pro výpočet prvků transformační matice nepoužívají. Později poznáme jiné systémy tzv. prostorových úhlů používané pro výpočet prvků transformačních matic.

Zpracoval: Pavel Čapek