obr. 1

viz obr.1, při okrajových podmínkách a podmínce spojitosti .

Určit: , a časy , .

Z definice

vyplývá

Separace proměnných

(1)

Pro určení stačí separovanou diferenciální rovnici integrovat v konstantních mezích

s výsledkem

Z toho

Pro určení průběhu rychlosti integrujeme separovanou diferenciální rovnici (1) v proměnných mezích. Nejprve v prvním subintervalu, kde

výchází

Ve 2. subintervalu, kde

vychází

resp.

Podmínka spojitosti v je splněna neboť

Pro určení času vyjádříme rychlost v 1. subintervalu jako

a použijeme definiční vztah

resp.

Separace proměnných nyní bude

Integraci je možné provést v konstantních mezích, sobě navzájem odpovídajících

Výsledek integrace je

takže

Pro určení celkového času vyjádříme rychlost ve 2. subintervalu jako

příslušnou diferenciální rovnici separujeme do tvaru

a integrujeme v konstantních mezích

(2)

Integrál na levé straně řešíme substitucí

neboli

Rovnice (2) pak bude

Z toho

Po dosazení za a a úpravě je konečný výsledek

Když budeme separované diferenciální rovnice pro 1. a 2. subinterval integrovat v proměnných mezích, můžeme určit funkci .

V 1. subintervalu

Ve 2. subintervalu

Funkce , a vyneseme do grafů (obr. 2).

obr. 2

Protože funkce , a nejsou navzájem derivacemi nebo integrály, nehledejme mezi jejich grafy vztahy, které platí mezi křivkami navzájem derivačními nebo integračními.

Zpracoval: Pavel Čapek