Navigace

Hlavní nabídka
Obsah


Zjištění momentu setrvačnosti ojnice k ose procházející těžištěm a polohy těžiště

Obr. 1 Zadání
Dáno :

Je dána ojnice s rozměrem a hmotností . Dvojím odkýváním ojnice kolem os a byly stanoveny doby kmitu a .

Určit :

Určete vzdálenost těžiště od osy a moment setrvačnosti ojnice k ose procházející těžištěm.



Obr. 2 Uvolnění
Řešení :

Ojnici můžeme nahradit obecným tělesem , které uvolníme D'alembertovým způsobem. Předpokládejme kyv kolem osy .
Polohu tělesa měříme úhlovou souřadnicí .

Rovnice rovnováhy :

(1)


(2)


(3)


kde
doplňkové D'Alembertovy dynamické účinky jsou , ,
a tíhová síla je .

Pro nalezení veličin a nám postačí rovnice (3). Zbylé dvě by sloužily k výpočtu reakce v místě uložení . Tedy

, ,


a po úpravě do standartního tvaru dostáváme diferenciální rovnici pohybu fyzikálního kyvadla.

(4)

Rovnice (4) je nelineární. Avšak za předpokladu , že ojnici rozkýveme tak , aby souřednice , můžeme napsat , že . Potom dostáváme lineární diferenciální rovnici (5) , kde výraz u značí kvadrát vlastní frekvence kývání ojnice .

(5)

(6)

Poznamenejme , že jmenovatel výrazu v (6) , , je moment setrvačnosti kyvadla k ose procházející bodem .
Dále platí :

(7)

Porovnáním rovnic (6) a (7) vyjádříme moment setrvačnosti .

(8)

Nyní uskutečníme kyvy ojnice kolem os a a zjistíme periody kmitů a .

Obr. 3


Obdobou rovnice (8) pro případ měření a) na obr. 3 je rovnice (9) odpovídající provedení experimentu b) , kde vzdálenost těžiště od osy rotace je .

(9)


Porovnáním pravých stran rovnice (8) a (9) , kde jedinou neznámou je poloha těžiště , dostáváme :




Obr. 4
Na závěr ještě uveďme alternativní způsob uvolnění tělesa , kdy tečnou a normálovou složku D'Alembertovy dynamické doplňkové síly a umístíme do místa rotace .
Všechny rovnice odvozené pro původní případ zůstávají v platnosti. Pouze za D'Alembertův dynamický doplňkový moment dosadíme .