|
Optimalizace nádoby ze dvou plášťů s přesahem
Mějme tlustostěnnou trubku, kterou chceme zatížit provozním přetlakem  Podle výpočtu by však ekvivaletní Guestovo napětí překročilo  - viz. obr. 1
 |
 |
| obr. 1 |
 |
(1) |
 |
(2) |
Jak bychom mohli snížit namáhání, aniž bychom zvětšili vnější poloměr trubky a tedy i zvýšili tíhu konstrukce? Navrhneme trubku sestavenou ze dvou trubek s přesahem tak, aby napjatost v trubkách po zatížení provozním tlakem  byla optimální (nemusí se však podařit snížení maximálního ekvivalentního napětí pod hranici ). Po sestavení trubek s přesahem vznikne tlakové obvodové napětí ve vnitřní trubce, a tedy dojde ke snížení výsledného napětí při provozním zatížení. Napjatost v trubkách po nalisování a zatížení provozním tlakem je následující.
 |
|
| obr. 2 |
 |
(3) |
 |
(4) |
Napjatost v trubkách při daném zatěžujícím tlaku můžeme ovlivnit změnou poloměru  a velikostí přesahu  pro nalisování. Optimální stav vznikne tehdy, když maximální ekvivalentní napětí v obou trubkách budou stejná a co nejmenší.
 |
(5) |
 |
(6) |
1. podmínku
 |
(7) |
splňuje tlak  na společném poloměru, který však zároveň závisí na zatěžujícím tlaku a na poloměru 
 |
(7a) |
Z toho vyjádříme 
 |
(8) |
Dosaďme zpět do 
 |
(6a) |
2. podmínka:  má být co nejmenší - proto musí výraz ve jmenovateli  nabývat co největší hodnoty. Hledejme velikost poloměru , pro který je tento výraz maximální.
 |
(9) |
 |
(10) |
Druhá derivace je záporná, nalezli jsme maximum.
Dosadíme-li za  do výrazu pro  můžeme ho vypočítat.
 |
(6b) |
Převyšuje-li toto napětí  pak je třeba poloměr  zvětšit.
Potřebný přesah pro nalisování dostaneme z deformační podmínky:
 |
(11) |
Z grafů vidíme:
 |
(12a) |
 |
(12b) |
 |
(12c) |
 |
(11a) |
Tento výraz lze dále zjednodušit, neboť z podmínky   
 |
(13) |
a tedy
 |
(11b) |
Dosadíme-li sem za ze a za z  dostáváme
 |
(11c) |
Co z výpočtu vyplývá:
1) nejprve je nutné se přesvědčit, zda lze optimalizací pro daný provozní tlak provést pro zvolenou kombinaci  a  t.j. zjistit, zda optimální maximální napětí je menší než požadované dovolené napětí. Zjistíme to ze vztahu 
Není-li tento vztah splněn, je třeba poloměr příslušně zvětšit.
2) navrhneme optimalní dělící poloměr mezi trubkami
3) navrhneme optimalní přesah
V tom případě pak bude ekvivalentní napětí v obou trubkách stejné a rovné  Uvědomme si, že optimalizaci jsme provedli pro daný přetlak  daný vnitřní poloměr a dané Změní-li se přetlak v trubce, nebude již vzniklá napjatost v trubkách optimální.
Mějme dáno:
Stanovme optimální sestavu.
Řešení:
 |
|
| obr. 3 |
Kdyby byla trubka z jednoho kusu, pak pro  a pro  jí můžeme zatížit pouze tlakem
Pozn: Grafy, které jsou důležitou pomůckou při řešení této úlohy, jsou záměrně kresleny "od ruky" tak, jak si je může student při řešení snadno sám zobrazit. Jejich vypovídající hodnota je daleko důležitější, než jejich hodnota estetická.
Zpracoval: Radek Zbončák
|
Hlavní nabídka
