Obr. 1

Určete : průběh napětí, reakce a poměrné deformace v tyči. Anylyzujte vliv velikosti a znaménka na výsledek.

Tyč o délce je upevněna podle obrázku 1 a poté se její teplota změní o .

Obr. 2

Zavedeme reakce a souřadnici - viz obr. 2. Pro soustavu sil ležících v přímce napíšeme jedinou rovnici rovnováhy

.

(1)

představuje tíhu celé tyče

.

(2)

Úloha je jednou staticky neurčitá, musíme proto formulovat deformační rovnici. Vzhledem k uložení obou konců tyče musí platit

.

(3)

Hodnotu získáme integrací poměrné deformace

.

(4)

Tyč se deformuje nejen působením vnějších sil, ale také v důsledku změny teploty . Poměrná deformace se skládá z komponenty způsobené silami a z komponenty způsobené změnou teploty :

.

(5)

Pro platí

,

(6)

kde je průřez : .

Pro platí

.

(7)

Vztah (4) vypadá po dosazení takto :

.

(8)

Vnitřní sílu stanovíme metodou řezu. Provedeme-li myšlený řez na souřadnici (viz. obr. 2), působí tahem reakce a tlakem tíha části nad řezem.

.

(9)

Z poslední rovnice dosadíme do (8) a (3) a po integraci dostáváme

.

(10)

Vyjádříme reakci

.

(11)

Z rovnice rovnováhy (1) stanovíme :

.

(12)

Z (11) dosadíme do (9) a pro napětí pak platí

.

(13)

Analyzujme nyní velikost reakcí v závislosti na .

Pokud je , pak a .

Obr. 3

Lineární závislost reakcí na znázorňuje obr. 3.

Je-li uvnitř intervalu , pak obě reakce míří nahoru. Pro se mění znaménko u , která pak míří dolů.

Naopak pro se obrací znaménko a tedy i směr reakce .

Stanovme nyní hodnoty a .

Pro , platí že :

,

(14)

čili

.

(15)

Pro platí, že :

(16)

a tedy

.

(17)

Obr. 4

Podívejme se nyní na průběh napětí (vztah (13)). Pro dostaneme závislost označenou v obr.4 číslem .

S rostoucím se průběh posouvá směrem doleva až při dosáhne nulové hodnoty na horním konci tyče - průběh .

S klesajícím se průběh posouvá doprava a pro dosáhne nuly na dolním konci tyče - průběh .

S dalším růstem, resp. poklesem teploty se průběhy posunují dál doleva resp. doprava.

Je-li , pak je napětí v celé tyči záporné, tedy tlakové.

Je-li , je napětí v celé tyči kladné - tahové.

Je-li , je napětí v části tyče tahové a v části tlakové.