Určete maximální napětí a průhyb nosníku. Nosník má obdélníkový průřez a materiál je elastický a má nelineární tahový diagram. Předpokládejte malé deformace.

(1)

Za předpokladu, že průřezy nosníku zůstavají po deformaci rovinné a kolmé ke střednici (Bernoulliho hypotéza), bude prodloužení lineární funkcí stejně jako u nosníku,který se řídí lineárním Hookeovým zákonem. Napětí v průřezu však nebude lineární funkcí .

Označme maximální prodloužení v řezu o souřadnici jako , pak prodloužení v průřezu bude popsáno funkcí

(2)

a napětí po dosazení do vztahu bude popsáno funkcí

(3)

Moment přenášený v průřezu vypočteme jako moment vnitřních sil k ose y

(4)

Dosaďme ze vztahu do za

(5)

Maximální napětí bude v krajním vlákně uprostřed nosníku:

(6)

Výraz bychom mohli označit za ohybový modul průřezu nosníku obdélníkového průřezu s materiálem typu .

K výpočtu průhybu uprostřed nosníku použijeme 2. Castiglianovu větu. Zatížíme nosník uprostřed fiktivní silou . Průhyb vypočteme derivací doplňkové deformační energie podle této síly, neboť v případě, kdy nejsou přítomny geometrické nelinearity je doplňková deformační energie rovna doplňkové práci vnějších sil .

(7)

Vnitřní moment v nosníku pak bude

(8)

a jeho derivace podle

(9)

Stanovte nejprve hustotu doplňkové deformační energie

(10)

(11)

po dosazení do a derivaci složené funkce:

(12)

a po dosazení za ze vztahu a pro a dostaneme:

(12a)

Průhyb je samozřejmě nelineární (v tomto případě kvadratickou) funkcí zatížení.

Ke stejnému výsledku bychom došli integrací diferenciální rovnice průhybové čáry

(13)

kterou dostaneme ze vztahu po dosazení za

(14)

Zvídavý student se o tom rád předsvědčí.

Zpracoval: František Novotný