|
|
KIN-03-2 Volný pohyb hmotného bodu ve 2D
Dáno: V polárních souřadnicích  ,  je pohyb hmotného bodu určen vztahy
kde  ,  ,  jsou dané konstanty.
Určit: Rovnici  trajektorie HB, složky  ,  rychlosti a složky  ,  zrychlení při počátečních podmínkách
 .
|
Řešení:
Úpravou definičního vztahu pro 
a dosazením zadání dostaneme
což lze separovat do tvaru
a integrovat v odpovídajících mezích
s výsledkem
neboli
Úprava
neboli
To je rovnice elipsy s ohniskem v počátku polárních souřadnic , 
Pro složky rychlosti v polárních souřadnicích platí
V daném případě tedy
Absolutní hodnota rychlosti je
což je
Největší je rychlost pro 
a nejmenší je rychlost pro 
Pro složky zrychlení v polárních souřadnicích platí
V daném případě je
takže po dosazení
Dále
takže
Zrychlení má tedy jen radiální složku, orientovanou do středu polárních souřadnic. Jedná se o tzv. centrální pohyb, který konají např. planety okolo Slunce.
 |
|
| Obr.1 Volný pohyb hmotného bodu ve 2D |
Vyšetříme ještě složky vektorů  a  v přirozeném souřadnicovém systému s bází  , 
Platí
přičemž absolutní hodnota (viz. výše) je
Analogicky platí
Tečnou složku zrychlení vypočteme jako průmět vektoru do
V našem případě tedy tečná složka
Normálová složka zrychlení pak bude
V daném případě je po úpravě
takže po dosazní za , , , máme
Samotná hodnota  je nakonec absolutní hodnotou vektoru na pravé straně. Znalost hodnoty navíc umožní výpočet poloměru křivosti  eliptické trajektorie v příslušném bodě
Zpracoval: Arnošt Loos
|
|
Hlavní nabídka
