Tenký kotouč podle obr. 1 byl při teplotě bez napětí. Jeho čelní plochy jsou teplotně izolovány, ale nic nebrání v jejich volné dilataci. Tento kotouč byl zvolna zahřát tak, že vznikne ustálený tepelný stav, kdy na vnitřním okraji kotouče je teplota a na vnějším okraji kotouče je teplota . Jaké je napětí v kotouči?

Dáno:

Obr. 1

Řešení: V kotouči vzniká ustálené teplotní pole, které je osově symetrické, teplota se po tloušťce kotouče nemění. Jedná se o rovinnou napjatost - nevznikne osové napětí. Rovnice vedení tepla má v tomto případě tvar

Za vztažný poloměr zvolíme vnější poloměr kotouče . Řešení této rovnice je funkcí teploty

kde integrační konstanty a určíme z okrajových podmínek pro vnitřní a vnější poloměr, tedy

Odtud

Diferenciální rovnice pro radiální posuv v případě rovinné napjatosti:

Z homogenního řešení dostáváme známé vztahy pro napětí v rotačně symetrických tenkých kotoučích

kde integrační konstanty a určujeme z podmínek na okraji kotouče.

Diferenciální rovnici pro radiální posuv vynásobíme a dosadíme za funkci . Na pravé straně dostáváme: . Označme . Partikulární řešení bude v tomto případě

a napětí z tohoto řešení odvozená jsou

Sečtěme homogenní řešení a partikulární řešení a přidáme teplotní člen Dostaneme napětí

Integrační konstanty a určíme z podmínek pro volné okraje:

Po dosazení

Rovnice můžeme dále upravovat a konstanty A a B vyjádřit obecně pro tento typ zatížení a okrajových podmínek. Rozumnější bude v této fázi konstanty, které mají rozměr napětí, vypočítat numericky. Vyjde . Průběh radiálního a tečného napětí je na obr. 2. V tomto případě rovinné napjatosti nastane deformace v axiálním směru. Tloušťka kotouče se bude zvětšovat všude a nerovnoměrně v závislosti na poloměru.

Obr. 2

Kdybychom zabránili volné změně tloušťky kotouče, vzniklo by v kotouči osové napětí Předpokládejme, že změně tloušťky je zcela zabráněno vnější vazbou, pak a jedná se o tzv. rovinnou deformaci. Určíme napětí v tomto případě. Pro poměrné deformace máme nyní vztahy

Z poslední rovnice získáme

Na pravé straně diferenciální rovnice pro radiální posuv je v případu rovinné deformace výraz

Zde obdobně zavedeme

Z homogenního řešení rovnice máme opět

(konstanty a mají jinou hodnotu, než a v předchozím řešení).

Partikulární řešení dosadíme do vztahů pro radiální a tečné napětí (tyto vztahy platí pro rovinnou deformaci a jsou různé od vztahů pro napětí v předchozí části příkladu, kdy se jednalo o rovinnou napjatost):

K součtu jednotlivých částí napětí musíme ještě připojit teplotní člen :

Axiální napětí bude

Z podmínek na okrajích kotouče určíme konstanty a , které dosadíme do vztahů pro napětí, pak

Průběh napětí je na obr. 3.

Obr. 3

Pozn.: Vztahy pro napětí a v případu rovinné deformace (kotouči je bráněno v dilataci tloušťky, tedy ) můžeme dostat přímo ze vztahů a pro rovinnou napjatost (volná dilatace tloušťky ), jestliže do nich dosadíme za Youngův modul vztah , za teplotní roztažnost vztah a za Poissonovu konstantu vztah . (Je třeba dosadit i do výrazu pro konstantu .)

zpracoval:Miroslav Denk