Řešení: Kolejnici můžeme považovat za ideálně vetknutou tyč. Při ochlazení v ní vznikne tahové napětí, které eliminuje teplotní deformaci .
zpracoval:Miroslav Denk
Tyč sestavená ze dvou materiálů podle obr. 1 o teplotní roztažnosti: , je oboustranně vetknutá. Vypočtěte napětí v jejích jednotlivých částech, je-li , , , , ohřeje-li se celá o .
Obr. 1
Řešení: Deformační podmínka pro výpočet síly je:
tedy
Odtud tlaková síla v tyči má velikost:
Napětí v části je:
Napětí v části a je:
zpracoval:Miroslav Denk
Tyč ve tvaru konického kužele podle obr. 1 je vetknutá a zatížená změnou teploty . Vypočtěte napětí v tyči. Dáno: , , , , .
Obr. 1
Řešení: Kdyby tyč byla volná, prodloužila by se vlivem teploty o . V tyči vznikne tlakové napětí, které eliminuje toto prodloužení. Předpokládejme, že ve vetknutí vznikne reakce , pak v místě vzdáleném o od levého vetknutí bude napětí
kde průřez
Deformace v místě bude a zkrácení elementu bude . Zkrácení tyče vlivem napětí musí být stejné, jako její prodloužení vlivem teploty.
Z této rovnice vypočteme velikost tlakové síly a maximální napětí na levém konci tyče .
zpracoval:Miroslav Denk
Mějme vetknutou tyč konstantního průřezu podle obr. 1, změna teploty bude nyní funkcí souřadnice .
Obr. 1
Volné teplotní prodloužení elementu v místě bude
celkové volné prodloužení tyče vlivem teploty pak je
Ve vetknutích vznikne tlaková síla F, která by zkrátila tyč o
Prodloužení tyče od teploty a zkrácení vlivem reakce musí být stejné, sílu vypočteme z této podmínky
zpracoval:Miroslav Denk
Ocelová tyč a měděná trubka stejné délky jsou spojeny tuhými čely podle obr. 1. Jaké napětí vznikne v jednotlivých částech, ohřejeme-li soustavu o teplotu ?
Obr. 1
Řešení: Teplotní roztažnost mědi je větší než teplotní roztažnost oceli (, ). Prodloužení obou částí však musí být stejné. V trubce vznikne tlakové a v tyči tahové napětí. Deformační podmínka je
Výsledné síly, kterými trubka a tyč působí na tuhá čela musí být stejně velké, ale opačného smyslu
zpracoval:Miroslav Denk
Z této podmínky rovnováhy a deformační podmínky, můžeme vypočítat napětí a .
Dvě stejné tyče jsou spojeny tuhým členem podle obr. 1 a každá je celá ohřáta o jinou teplotu (, ). Jaké napětí vznikne v tyčích, jestliže tuhé čelo se nemůže natočit?
Obr. 1
Řešení: Po ohřátí tyčí bude čelo v pozici rovnoběžné s původní pozicí a posune se ve směru dolů o vzdálenost , která je rovna prodloužení tyčí. Na tyče působí osové síly , jejichž moment je v rovnováze s momentem sil , které vznikají ve vedení. Z podmínky stejné délky tyčí po ohřátí
vypočteme sílu
zpracoval:Miroslav Denk |
Všechny pruty soustavy podle obr. 1 jsou ze stejného materiálu a mají stejný průřez. Jaké bude v jednotlivých prutech napětí, ohřeje-li se
a) celá soustava o
b) ohřeje-li se pouze prut 2 o
Obr. 1
Soustava je symetrická a 1-krát staticky neurčitá, tedy
Rovnice rovnováhy styčníku A je
Po deformaci styčník A zůstane na ose symetrie a deformační podmínka má tvar
a) prodloužení prutů jsou
Z deformační podmínky
a z rovnice rovnováhy vyjde
resp. ,
b) Soustava je stále symetrická, prodloužení prutů jsou
Z deformační podmínky
a z rovnice rovnováhy vyjde
resp. ,
zpracoval:Miroslav Denk
Tyč obdélníkového průřezu podle obr. 1 je zatížena přírůstkem teploty, který má lineární průběh v závislosti na souřadnici z: . Dáno: Určete napětí v tyči a deformaci tyče.
Obr. 1
Řešení:
V tyči nevznikne napětí (přírůstek teploty je lineární funkcí souřadnice ).
Diferenciální rovnice průhybové čáry
Průhybová čára je kružnice s poloměrem . Tyč se neprodlouží, neboť střední posuv průřezu je nulový:
zpracoval:Miroslav Denk
Tyč z příkladu 1. je zatížena přírůstkem teploty, který má parabolický průběh (obr. 1) v závislosti na souřadnici , určete napětí v tyči a její deformaci.
Obr. 1
Řešení:
Napětí má parabolický průběh (obr. 2). Tyč se neprohne, protože
Obr. 2
Osový posuv v místě
střední osový posuv
a celkové prodloužení tyče
zpracoval:Miroslav Denk
Tyč z příkladu 1. je zatížena přírůstkem teploty s parabolickým průběhem podle obr. 1. Určete napětí v tyči a její průhyb.
Obr. 1
Řešení:
Průhyb nosníku je dán diferenciální rovnicí
a po dosazení
Průhybová čára tedy bude kružnice o poloměru
zpracoval:Miroslav Denk
Tyč z příkladu 1. je vetknutá na obou koncích podle obr. 1 a zatížena přírůstkem teploty
Jaké napětí vznikne v tyči a jaká bude její deformace?
Obr. 1
Řešení: Tyč se neprohne, neboť z vetknutí se na ni budou přenášet ohybové momenty Napětí, které vznikne v tyči má lineární průběh
zpracoval:Miroslav Denk
Tyč z příkladu 1. je vetknutá na levém konci a na pravém konci prostě podepřena. Průběh přírůstku teploty je lineární funkcí souřadnice . Určete napětí a deformaci tyče.
Obr. 1
Řešení: Stále pro průběh teploty platí
V podpoře vznikne reakce , která bude bránit průhybu nosníku směrem vzhůru. Moment v obecném řezu je
diferenciální rovnice má tvar
a řešení
Velikost reakce a konstant a určíme z okrajových podmínek pro deformaci nosníku
Odtud
Napětí v nosníku získáme superpozicí napětí v nosníku vetknutém na levém konci a zatíženém ohřevem (napětí nevzniká) a nosníku vetknutém na levém konci a na pravém konci zatíženém silou .
Maximální napětí je ve vetknutí
zpracoval:Miroslav Denk
Nosník na třech podporách obdélníkového průřezu podle obr. 1 je zatížen přírůstkem teploty Určete napětí a deformaci nosníku.
Obr. 1
Řešení: Pokud je nosník uložen na dvou podporách A a C, napětí v něm nevznikne a vlivem přírůstku teploty se prohne do kružnice. Poloměr kružnice
kde
tedy
Průhyb způsobený změnou teploty vypočteme pomocí obr. 2
Protože platí, že , lze napsat
Obr. 2
Pro nosník zatížený silou rovnou reakci uprostřed je průhyb (obr. 3)
Obr. 3
Z podmínky vyjde
Maximální napětí je uprostřed nosníku:
Průhyb bude stejný jako u nosníku v příkladu 5. Reakce je dvojnásobkem reakce z příkladu 5.
zpracoval:Miroslav Denk
Mějme kompozitní nosník - tzv. bimetal - složený ze dvou částí z různých materiálů podle obr. 1. Určeme napětí a deformaci, ohřeje-li se celý nosník o teplotu . Předpokládejme stejný průřez obou částí, moduly pružnosti a součinitele teplotní roztažnosti
Obr. 1
Řešení: Po zahřátí se nosník prohne, průhybová čára bude kružnice. Předpokládejme, že zakřivení společné plochy bude , dále předpokládejme, že vlivem ohřátí se společná plocha roztáhne v osovém směru o
Ve vzdálenosti z od této plochy bude osové prodloužení rovno (obr. 2)
Obr. 2
Osové prodloužení v jednotlivých částech nosníku bude
dosadíme-li do levé strany těchto rovnic za máme pro napětí vztahy
Z podmínky rovnováhy sil v průřezu vyjde:
Z podmínky rovnováhy momentů vyjde
Do rovnic dosadíme vztahy pro napětí.
Z těchto rovnic vyjádříme prodloužení a zakřivení společné plochy a po dosazení do vztahů pro napětí získáme napětí v každé části bimetalu.
Průhyb bimetalu závisí slabě na poměru , avšak je silně ovlivněn rozdílem teplotních roztažností . Položíme-li přibližně , pak dostáváme
a napětí budou
zpracoval:Miroslav Denk
Prutová soustava tvořená třemi pruty (obr. 1) je ze stejného materiálu () a stejného průřezu . Určete jaká napětí vzniknou v prutech po zahřátí prutové soustavy o teplotu . Soustava je opět symetrická. Výpočet pomocí deformační podmínky je uveden v kapitole Teplotní napětí v tyčích namáhaných na tah nebo tlak. , příklad 7.
Obr. 1
Doplňková deformační energie soustavy
Podmínka rovnováhy je
Zvolme za staticky neurčitou sílu, pak platí
určíme z podmínky rovnováhy
Po dosazení dostaneme rovnici
ze které a z podmínky rovnováhy určíme
zpracoval:Miroslav Denk
Jaká napětí vzniknou v prutech soustavy (obr. 1), ohřeje-li se pouze prut 1. Soustava prutů již není symetrická a sestavení deformační podmínky by bylo pracné. Doplňková deformační energie soustavy je
Obr. 1
kde stále platí rovnice rovnováhy a tedy . Zvolme za staticky neurčitou veličinu, pak platí:
Odtud
zpracoval:Miroslav Denk
Nosník na třech podporách podle obr. 1 je ohřát o přírůstek teploty. (viz. příkladu 6.)
Obr. 1
Řešení: Ve střední podpoře vznikne reakce, která vyvolá ohybový moment
Napětí v nosníku
Doplňková deformační energie
Platí
kde
Odtud
zpracoval:Miroslav Denk
Příklad 5. z kapitoly (obr. 1) Přibližný výpočet teplotních napětí v nosnících lze řešit i pomocí Castiglianovy věty. Pro staticky neurčitou reakci platí
Obr. 1
Odtud
zpracoval:Miroslav Denk
Tenká obruč je bez napětí vložena mezi dvě tuhé opory v bodech A a B podle obr. 1. Určete reakce v podporách po ohřátí celé obruče o teplotu . Dáno: . Řešení je možné jen pomocí energetické metody. Příklad je 2-krát staticky neurčitý.
Obr. 1
Řešení:
1) V tomto případě použijeme vztah pro energii napjatosti U a deformační podmínku. Uvolníme-li obruč a zahřejeme-li jí o teplotu , změní se vzdálenosti o přírůstek . V podporách tedy musí vzniknout síly , které by průměr obruče stlačily o tuto vzdálenost.
Deformační podmínka je
kde je deformační energie.
Z podmínky rovnováhy podle obr. 2 vyjde
Obr. 2
je staticky neurčitý vnitřní moment, proto platí
Energie napjatosti je
kde
2) Řešení pomocí doplňkové deformační energie . V tomto případě použijeme 2-krát větu o minimu deformační práce a bude platit
Doplňkovou energii vypočteme z hustoty deformační energie
kde
Do normálného napětí musíme zahrnout i vliv normálné síly v průřezu obruče (obr. 3).
Obr. 3
Parciální derivace jsou
Dostaneme soustavu dvou rovnic
Z první rovnice opět vyjde
zpracoval:Miroslav Denk
Volná tenká mezikruhová deska podle obr. 1 je zatížena přírůstkem teploty, který je lineární funkcí vzdálenosti od střední roviny . Určete napětí a deformaci desky. Dáno: a přírůstek teploty je .
Obr. 1
Řešení:
Příčná síla v desce nevzniká:
Teplotní moment
Radiální a tečný moment v desce jsou
Radiální moment na okrajích desky je roven nule, tedy . Odtud vypočteme konstanty
Křivosti desky po deformaci jsou
Průhyb
kde z okrajové podmínky vypočteme
Průhyb desky na poloměru pak bude
Deska je bez napětí, pouze se prohne. Natočení desky na poloměru bude:
zpracoval:Miroslav Denk
Deska z příkladu 1. je vetknutá na vnějším i vnitřním okraji (obr. 1). Jaká vzniknou v desce napětí? Průběh teploty je opět
Obr. 1
Řešení: Vzhledem k tomu, že nezávisí na poloměru, deska se neprohne. Tečné a radiální momenty budou stejné a konstantní
zpracoval:Miroslav Denk
Deska z příkladu 1. je vetknutá na vnitřním okraji a na vnějším okraji je volná (obr. 1). Jaká vzniknou v desce napětí?
Obr. 1
Řešení: Na desku bude působit z vetknutí na vnitřním okraji radiální moment . Musí být tak velký, aby sám o sobě způsobil na poloměru a stejné natočení, jako vzniká v důsledku teplotního zatížení u volné desky - tedy (podle příkladu 1.)
Pro a při zatížení momentem platí
kde
Okrajové podmínky jsou
Po dosazení do okrajových podmínek dostaneme konstanty
Sklon tečné roviny je
a na vnitřním okraji platí
Ze srovnání obou natočení v místě vetknutí
získáme velikost
Radiální a tečný moment jsou
zpracoval:Miroslav Denk
Deska z příkladu 1. je prostě podepřená na obou okrajích (obr. 1). Jaké vznikne napětí v desce?
Obr. 1
Řešení: Kdyby byla deska podepřená pouze na vnějším okraji, pak po teplotním zatížení bude bez napětí a průhyb na jejím vnitřním okraji bude podle příkladu 1.
Je-li deska podepřena na obou okrajích, musí vnitřní podpora působit na desku celkovou silou , která by sama prohnula desku na vnitřním okraji o
Příčná síla v desce
Pravá strana diferenciální rovnice je
Vztah pro sklon tečné roviny je
Konstanty určíme z okrajových podmínek
Po dosazení
Průhyb desky
Konstantu určíme z podmínky - průhyb na vnějším okraji je roven a odtud
Po dosazení do vztahu pro průhyb můžeme vypočítat průhyb na vnitřním okraji. Z podmínky dostaneme sílu (reakci v podpoře). Po dosazení do vztahů pro momenty dostaneme napětí v desce.
zpracoval:Miroslav Denk
Tenký ocelový kotouč podle obr. 1 je při počáteční teplotě bez napětí. Vnějšímu okraji kotouče je zabráněno v roztažení. Jaké napětí vznikne v kotouči, ohřeje-li se celý zvolna o teplotu ?
Dáno:
Obr. 1
Řešení:Kdyby byl kotouč volný, pak při ohřátí o teplotu by se každý jeho poloměr zvětšil o , tedy poloměr by se zvětšil o . Tomuto rozšíření brání okolí kotouče, mezi kotoučem a okolím vznikne tlak . Jeho velikost určíme z deformační podmínky .
Obr. 2
Napětí na vnějším okraji kotouče jsou (obr. 2)
Odpovídající deformace je
Z deformační podmínky
vypočteme
Nejméně příznivá napjatost je jednoosá napjatost na poloměru . Napětí je rovno
zpracoval:Miroslav Denk
Tenký kotouč podle obr. 1 byl při teplotě bez napětí. Jeho čelní plochy jsou teplotně izolovány, ale nic nebrání v jejich volné dilataci. Tento kotouč byl zvolna zahřát tak, že vznikne ustálený tepelný stav, kdy na vnitřním okraji kotouče je teplota a na vnějším okraji kotouče je teplota . Jaké je napětí v kotouči?
Dáno:
Obr. 1
Řešení: V kotouči vzniká ustálené teplotní pole, které je osově symetrické, teplota se po tloušťce kotouče nemění. Jedná se o rovinnou napjatost - nevznikne osové napětí. Rovnice vedení tepla má v tomto případě tvar
Za vztažný poloměr zvolíme vnější poloměr kotouče . Řešení této rovnice je funkcí teploty
kde integrační konstanty a určíme z okrajových podmínek pro vnitřní a vnější poloměr, tedy
Odtud
Diferenciální rovnice pro radiální posuv v případě rovinné napjatosti:
Z homogenního řešení dostáváme známé vztahy pro napětí v rotačně symetrických tenkých kotoučích
kde integrační konstanty a určujeme z podmínek na okraji kotouče.
Diferenciální rovnici pro radiální posuv vynásobíme a dosadíme za funkci . Na pravé straně dostáváme: . Označme . Partikulární řešení bude v tomto případě
a napětí z tohoto řešení odvozená jsou
Sečtěme homogenní řešení a partikulární řešení a přidáme teplotní člen Dostaneme napětí
Integrační konstanty a určíme z podmínek pro volné okraje:
Po dosazení
Rovnice můžeme dále upravovat a konstanty A a B vyjádřit obecně pro tento typ zatížení a okrajových podmínek. Rozumnější bude v této fázi konstanty, které mají rozměr napětí, vypočítat numericky. Vyjde . Průběh radiálního a tečného napětí je na obr. 2. V tomto případě rovinné napjatosti nastane deformace v axiálním směru. Tloušťka kotouče se bude zvětšovat všude a nerovnoměrně v závislosti na poloměru.
Obr. 2
Kdybychom zabránili volné změně tloušťky kotouče, vzniklo by v kotouči osové napětí Předpokládejme, že změně tloušťky je zcela zabráněno vnější vazbou, pak a jedná se o tzv. rovinnou deformaci. Určíme napětí v tomto případě. Pro poměrné deformace máme nyní vztahy
Z poslední rovnice získáme
Na pravé straně diferenciální rovnice pro radiální posuv je v případu rovinné deformace výraz
Zde obdobně zavedeme
Z homogenního řešení rovnice máme opět
(konstanty a mají jinou hodnotu, než a v předchozím řešení).
Partikulární řešení dosadíme do vztahů pro radiální a tečné napětí (tyto vztahy platí pro rovinnou deformaci a jsou různé od vztahů pro napětí v předchozí části příkladu, kdy se jednalo o rovinnou napjatost):
K součtu jednotlivých částí napětí musíme ještě připojit teplotní člen :
Axiální napětí bude
Z podmínek na okrajích kotouče určíme konstanty a , které dosadíme do vztahů pro napětí, pak
Průběh napětí je na obr. 3.
Obr. 3
Pozn.: Vztahy pro napětí a v případu rovinné deformace (kotouči je bráněno v dilataci tloušťky, tedy ) můžeme dostat přímo ze vztahů a pro rovinnou napjatost (volná dilatace tloušťky ), jestliže do nich dosadíme za Youngův modul vztah , za teplotní roztažnost vztah a za Poissonovu konstantu vztah . (Je třeba dosadit i do výrazu pro konstantu .)
zpracoval:Miroslav Denk
Mějme dlouhý dutý válec s rozměry , s počáteční teplotou s ustáleným teplotním polem , (stejné parametry jako v příkladu 2.). Nic nebrání v jeho délkové dilataci. . Jaká vzniknou ve válci napětí?
Obr. 1
Řešení: Jedná se o rovinnou deformaci, kdy v dostatečné vzdálenosti od konců je . Použijeme vztahy pro deformace při trojosé napjatosti a vypočteme axiální napětí
Ve vztazích pro napětí a tedy přibude konstantní člen
Pravá strana diferenciální rovnice pro radiální posuv se nezmění, tedy
Vztahy pro napětí jsou
a axiální napětí je
Konstanty a určíme z okrajových podmínek
Odtud
tedy (napětí budou stejná jako v předchozím příkladě)
a konstantu určíme z podmínky
Prodloužení válce bude
zpracoval:Miroslav Denk